calcul littéral - Lyon

| Thème |Développement, factorisation, calcul avec |
| |quotients, équation, résolution de problèmes. |
| Niveau |Seconde |
| Logiciels |Exerciseurs (en remédiation) : Mathenpoche et |
| |exercices à disposition sur la plateforme du |
| |lycée. |
| |Utilisation d'un tableur. |
| |Possibilité d'utiliser un logiciel de géométrie|
| |dynamique. |
| Problèmes proposés |Démontrer une relation algébrique |
| |Démontrer que a4 + b4 est décimal sous les |
| |conditions données. |
| |Augmenter l'aire d'un carré par la bande |
| |Calcul littéral avec fractions, étudier le |
| |signe de A-B |
| |Dans un problème de géométrie, étudier les |
| |variations d'une aire et démontrer les |
| |résultats conjecturés. Puis démontrer que |
| |l'aire maximale est égale à 8. |
| Compétences évaluées |Développement d'expressions algébrtiques |
| |Factorisation d'une expression algébrique |
| |Calcul littéral avec des quotients |
| |Résolution d'une équation se ramenant à un |
| |problème du premier degré. |
Avertissement Ce document n'est pas un modèle, il contient l'analyse d'une
expérimentation sur une durée de plusieurs mois. La conclusion permet de
faire le point sur d'éventuelles modifications à apporter. A partir de ce
document, une réflexion peut s'engager sur le sujet de « l'usage des
exerciseurs » . D'autre part, l'objet d'étude n'étant pas la recherche de
problèmes, il n'y a pas de détails à ce sujet. Les énoncés des problèmes
sont donnés pour situer la place des exerciseurs dans la séquence
d'apprentissage.
Sommaire Contexte
Méthode de résolution
Scenario
Conclusion
Informations détaillées
Contexte Le travail sur les ensembles de nombres est effectué en lien avec des
calculs numériques et littéraux. Il s'agit d'une part de ré-investir des
connaissances de la classe de troisième et d'autre part d'accéder à un
niveau de maîtrise plus élevé sur les transformations d'écriture
d'expressions et sur les calculs avec quotients. Enfin, il s'agit de savoir
mettre en ?uvre les techniques acquises lorsque c'est nécessaire au cours
de la résolution d'un problème.
Les apprentissages sur les thèmes étudiés ici ont débuté en
novembre. L'apprentissage a lieu dans la durée (progression en spirale), et
d'ailleurs dès que l'occasion se présente, les calculs littéraux sont mis
en ?uvre de nouveau ou révisés pour eux-mêmes.
La classe en question est très hétérogène de 34 élèves. Les séance en
salle d'informatique ont lieu en demi-classe avec un élève par poste. Méthodes de résolution Au cours des activités, certains points sont mis en avant et à retenir.
- Les équations polynomiales sont classées en deux catégories : premier
et second degré avec une méthode de résolution adaptée à chaque cas.*
- Les règles de calculs avec les quotients sont explicitées à cause des
difficultés engendrées par les calculs littéraux, et il faut savoir
dans quel cas un quotient est nul. * En seconde, pour le second degré, il faut se ramener à une équation
produit avec l'un des membres nul pour appliquer la propriété :
« Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des
facteurs est nul » Analyse a priori Les activités de recherche de problèmes préalables doivent créer ou
renforcer le besoin de s'entraîner pour acquérir des techniques de calcul,
ce qui conduit à l'utilisation d'un exerciseur. Dans un deuxième temps, les
acquis obtenus seront réinvestis lors de la recherche de problème, à cette
occasion , on pourra évaluer si ces connaissances sont mobilisables dans un
autre contexte, ou divers thèmes interviennent sans que l'élève sache à
l'avance ce qui va être mis en jeu. Scenario Les activités sont faites sans exerciseur dans un premier temps, des
apprentissages techniques côtoient des recherches de problèmes avec
logiciel ou pas.
L'apprentissage a lieu dans la durée, voici les différentes étapes de la
séquence.
(Les activités effectuées en salle d'informatique sont signalées, en
l'absence de mention, il n'y a pas d'utilisation de l'ordinateur. De même
que l'utilisation d'exerciseurs est mentionnée clairement.) 1.Retour sur les calculs de niveau collège : distribution d'un formulaire
et recherche d'exercices.
Plus de détails 2.Mise en évidence d'erreurs lors de calculs plus complexes
Recherche d'un problème avec tableur (en salle d'informatique) et exercice
avec la calculatrice ayant pour objectifs de révéler aux élèves leurs
erreurs et d'aborder un niveau de difficulté supérieur. Par exemple : (a +
b + c)2 ce n'est pas a2 + b2 + c2.
Plus de détails 3. Devoir à la maison et contrôle
Le devoir à la maison et le contrôle comportent d'une part des exercices
d'entraînement et d'autre part, la recherche d'un problème.
Plus de détails 4. Remédiation avec exerciseurs
Lors du contrôle des erreurs ont été commises pour des exercices
d'entraînement.
Plus de détails Dans le cadre d'une rémédiation des activités ont lieu avec exerciseurs en
autonomie hors de la classe, puis en classe. a. Utilisation hors de la classe
De s exercises interactifs non aléatoires et spécifiquement adaptés à la
progression de la classe ont été créés par l'enseignant de la classe et
déposés sur le site du lycée. Les élèves utilisent l'exerciseur chez eux,
puis rédigent les calculs sur feuille pour que le professeur les corrige.
L'enseignant contrôle également leurs scores significatifs du nombre
d'essais effectués avant de choisir la réponse correcte.
Plus de détails b. Utilisation en classe
L'utilisation de l'exerciseur en autonomie, hors de la classe, a montré que
l'aide apportée par l'exerciseur n'était pas suffisante pour les élèves en
difficulté.
Une séance avec exerciseurs a donc lieu en classe durant une heure, avec
une utilisation importante de mathenpoche.
Plus de détails 5. Contrôle (2ème évaluation)
Le deuxième contrôle est un devoir commun à trois classes, les révisions
portent sur plusieurs chapitres dont certains ont été étudiés en début
d'année.
Les calculs littéraux (objet de cette étude) font partie des révisions. Les
copies des élèves montrent que le tiers de la classe choisi l'exercice
comportant des développements (énoncé 1) et le succès est plus important
pour la première question. Il faut noter qu'il y a moins d'erreurs dans
l'utilisation des identités remarquables.
Plus de détails 6. Remédiation avec exerciseur (2ème séance) Le contrôle montre que des difficultés subsistent. Peu d'élèves ont choisi
l'exercice technique de développement d'expressions et des erreurs
apparaissent, mais elles concernent davantage l'application de la
distributivité de la multiplication par rapport à l'addition avec des
problèmes de signe que les identités remarquables.
Un séance d'une heure avec l'exerciseur wims a pour but de permettre à un
plus grand nombre d'élèves d'accéder à un niveau satisfaisant en calcul
littéral. Plus de détails 7. Contrôle (3ème évaluation) L'exercice de calcul littéral a été choisi en grande majorité contrairement
au contrôle précédent où ce type d'exercice avait été peu abordé. Un bonne
proportion d'élèves ont réussi les développements avec pratiquement aucune
erreur pour les identités remarquables. Il y a beaucoup plus d'erreurs pour
les factorisations qui n'ont été abordées que brièvement en fin d'heure
lors de la séance avec wims. L'équation avec quotients ont été peu abordée.
Conclusions
- Le but : obtenir qu'en contrôle un maximum d'élèves soit performant en
calcul littéral d'un bon niveau, est atteint dans la durée. L'idée
d'obtenir un résultat en contrôle est exigeant car le temps est limité et
il n'y a aucune aide.
- Les trois exerciseurs utilisés n'ont pas joué le même rôle auprès des
élèves.
. L'utilisation des séquences choisies avec mathenpoche ont permis
aux élèves (en particulier pour ceux qui étaient en difficulté)
de comprendre comment utiliser les identités remarquables. Les
exercices choisis étaient très guidés et montraient pas à pas le
principe. Les élèves n'écrivent pas sur le cahier.
. L'utilisation de wims a permis plus d'autonomie aux élèves,
puisqu'ils font les calculs sur le cahier, puis comparent leurs
résultats avec ceux du logiciel et recherchent leurs erreurs
éventuelles. Autre manifestation de l'autonomie : ils peuvent
décomposer un calcul en plusieurs « sous-calcul » et en
vérifiant les résultats au fur et à mesure
. L'utilisation des exercices inter-actif créés et déposés sur la
plateforme du lycée, sollicite la réflexion des élèves et
nécessite de prendre du recul par rapport à l'application de
techniques. Par exemple : pour le «Vrai ou Faux »
« Le cube de la somme ( a + b ) est égal à la somme des cubes de
a et de b. »
- Il faut bien choisir l'exerciseur lorsqu'il s'agit d'une utilisation en
autonomie hors de la classe, par exemple, il semble a priori que
mathenpoche soit plus performant dans ce rôle car