06An2 - ULB

06An2 Matiere vue au cours ANALYSE 2, ecriture abregee et sans accents.
Document officiel, mis a jour le 16 mars 2006. Epreuves ecrites, en janvier et en mai. Ceci ne decrit que la « theorie ».
Matiere de l'interro du 9 janvier 2006 : la matière vue de l'heure h1 à
l'heure h24.
Matière de l'examen du 29 mai 2006 : la matière vue de l'heure h 25 à
l'heure h36 (sauf h 28)
Matière de l'examen d'août 2006 (2nde session ): la matière vue de l'heure
h 01 à l'heure h36 s1 -------------------------------------------------------------
*h1: Chap.11 Series numeriques, terme gen. & sommes partielles, de la
conv.ds R.
Series geom, serie harmonique(div),
11.1.6= linearite somme de series,
Critere de Cauchy pr les suites (=CNS de cv ds R)...
11.1.7=critere de Cauchy pr les series et CN de conv +dem, series a termes
positifs (conv=bornee, dem).
CA et CA->cv (+dem)
*h2: 11.2: Integrales generalisees et critere integral de
Cauchy+dem,, serie de Riemann (etude de sa conv+ dem),
crit. de comparaison+dem, crit. d'equivalence;
*h3: 11.3:crit. du quotient+dem. que l=1 est un cas douteux.
Crit. racine version simplifiee +dem.
Critere series alternees +dem et majoration de l'erreur de troncature +dem. Crit. d'Abel.
s2: -----------------------------------------------------------
*h4: ! manipuler les series avec prudence!
Regroupement des termes d'une serie:OK si cv..
Permutation des termes=danger.
Cdts permettant la permutation des termes,etude selon conv. des parties
pos. et neg.
Conv de series de vecteurs (compos. par composante), CA.
Conv de series complexes et CA,
h5: Series de puissances entieres et positives. Disque de conv. ds C,
intervalle ds R. Critere d'Abel et semi-conv. sur les bords. {lecture
conseillee: series geom. (suite des termes semblable a celle des sommes
partielles, en spirale log.)}.
h6: Serie du binome (sans dem ni discussion de la conv en 1 ou -1).
A partir de series geom et par integration t/t, serie de ln(1+x), celle de
arctanx...,
Von Neumann & la mouche qui rebondit...
*CHAP.12. Ex: limite discontinue d'une suite de fcts continues!
s3----------------------------------------------
*h7: Les dangers de la conv. non unif.:continuite, integrale, derivee, lg
du gph
non preserves par passage a la lim.
Norme supremum. CS, CU, CN (en norme) d'une serie de fcts. CN->CA en tt pt
et CN->CU, ex. ou CU mais pas CN.
Critere de Weierstrass pr series de fcts; critere d'Abel.
*h8:Le passage a la lim preserve-t-il le fait d'etre borne?,
l'integrabilite?, la continuite?,la derivabilite?
CU garantit lim de fcts continues est continue (dem!)
Retour sur x^n /[0,1], CnU/[0,1[ , CUC/[0,1[.
Lim de fcts integrables l'est & integrale de lim= lim des integrales,
lim de fcts derivables est derivable si la suite des derivees CUC et alors
Dlim=limD. Idem pr derivees partielles & grad. Idem pr derivees d'ordre
sup.
s4 -----------------------------------------------------
h9:Series CU. contin. de la fct somme, derivation t/t, int. t/t (dem. a
partir des th. correspondants s/ les suites) et
FAUSSE dem de "on peut integrer terme a terme sans supposer CU"
*12.8= Series de puissances entieres: CUC a l'int. du disque de conv. et on peut deriver t/t, d'ou le th. d'Abel (dem sans la cont. s/ bords).
Fct analytique et conv. eventuellement locale de ses series de Taylor.
h10:
* CHAP. 13. Parallele entre serie de fcts & fct def. par int.
-Contin. d'une fct definie comme une integrale ou la variable n'apparait
que
ds l'integrande (qui en est une fct continue).
-Permutation d'integrales (grace au th. de Fubini)
-Derivation d/dx sous le signe integral lsq bornes indep. de x et que les
integrantes sont continues s/ compact.
-Contin. d'une fct de x definie comme une integrale ou x n'apparait que ds
les bornes d'integration (qui en sont des fcts continues).
-Derivation d'une fct de x def. par une integrale dont l'integrande et les
bornes
d'integration dependent de x (dem!)
-Integrales generalisees :conv.
h11:*Integrales generalisees : conv=bornee si integrande pos.
CA (plus fort que conv, ex). Crit. de comparaison , d'equival. ! conv de
integrale de f s/R^+ n'implique pas limf=0...
Crit.d'Abel.
Fcts de carre sommable (dem).
s5{2x1h}------------------------------------------
h12: Int. gen. en 2D: il faut la CA (ex. que "conv non absolue" n'est pas
acceptable (si int des parties pos & neg sont non bornees: n'importe quoi), aire sous la Gaussienne par calcul d'une int. double.
Continuite de f(x,t) & CS de l'integrale generalisee sur T de f(x,t)dt ne
suffit pas a garantir la continuite de l'integrale!
-------------------------------------------------------------
h13: CU en x de l'integrale generalisee sur C de f(x,t)dt.
Ce que permet la CU d'integrales generalisees: permuter lim & integ.,
deriv. & integ., integ & integ.
Criteres de CU: crit. de Weierstrass (& applic.) et d'Abel.
Fct Gamma d'Euler: etude de la conv. de l'int., continuite..., et son
prolongement a tous les reels non entiers negatifs (en generalisant form.
de recurrence (dem))
Fct Beta d'Euler, formule de multiplication (dem= trav. perso) s6
(3hconsec!)-------------------------------- - - - -
*h14: Modelisation de l'evolution de la temperature ds un corps (bilan &
deriv. sous le signe integral -> EDP de la chaleur)
EDP de la chaleur homogene en 1D: meth. de separ. des variables pour
resoudre
un pb CI & CB (avec CS pr qu'une serie somme de sol. d'une EDP soit encore
une sol. de l'EDP).
*h15: Section 14.2: prod. scalaire (hermitien) et esp. vect.
L^2([a,b])...esp. muni de la norme quadratique (ou psq norme).
Idem avec fct poids p.
CU, CS & cv en moy. quad. et dem. liens.
*h16:Calcul de coeff. de Fourier en cas de CU (avec justif.!)
Coeff. des series de Fourier classiques, y compris avec notation
exponentielle,
et developpement de fcts a valeurs complexes s/ intervalle de lg T.
{non vu: representation par gph des amplitudes & phases. Onde rectangulaire & train d'ondes}.
Th. de Pythagore ds vect {f,phi_0,...,phi_n} (& lemme14.5.1)
s7:------------------------------------------------
*h17:Bessel & Parseval avec dem, syst. orthogonal complet (conv.egalite
Parseval), coeff. de Fourier det. psq univoq. la fct (univoquement si
continue),
ex. de syst non complet
- Meilleure approx. en moy. quad. (2 dem: geom.& calculs)
- Pt regulier d'une fct cont/morc. Fct regularisee.
-Th. de Dirichlet
*h18: relation entre coeff. Fourier de f' & ceux de f (dem. si f est C^1).
CU
d'une serie trigono dont serie des coeff. Fourier CA (dem) , dem de cette
CA
si f ' cont/morc et f_pro est cont.
Serie de Fourier de f'=derivee de celle de f si...!
-Toute discont. entraine un phenomene de Gibbs (en partic. la conv. vers la regularisee n'est pas uniforme).
s8------------------------------------
*h19:-EDP de la chaleur: Th.1: conv.& CUC de la serie somme de sol. a var.
separees
si f est L^2, idem pr series derivees t/t, donc la somme est sol de l'EDP
(dem)
Th.2: conv. unif. de la serie somme de sol. a var. separees dans le cas ou
f(0)=f(L)=0,
f est cont. et f ' cont./morceaux (dem).
*h20: EDL scalaire d'ordre p, reguliere s/ I. Th. general: SGEH, SGEnH, pb
de
Cauchy (dem!, sauf existence & unicite sol. pb Cauchy). Syst. fond. de sol. La linearite permet de superposer sol. de pbs "complementaires".
Wronskien de sol. EDLH et son th. fond., eq. Jacobi-Liouville.
s9:--------------------------------------
*h21: dem.th. fond.Wronskien. Methode variation ctes (dem),
fct de Lagrange et dem. de la formule qui l'utilise.
*h22: operateurs diff. P(D), non commutatvite...sauf coeff.cts.
Reduction d'ordre d'une EDL connaissant une sol.
P(D)((t^n)exp(rt)). Resol. EDL a coeff. cts {dem}.
Chap.16. Pb aux lim.:CL separees, periodiques.
s10: ----------------------------------------------
*h23:Chap.16. Pb aux lim.:CL separees, periodiques. ex. pour introduire th.
Alt.
Th. de l'alternative (dem!).
Superposition pour les probl. aux lim. (si pb a 1 sol)
h24: Forme reduite d'une EDL d'ordre 2.
Identite de Green-Lagrange (dem), de Jacobi-Liouville (dem).
Op. differentiels hermitiques (ds une classe de fcts!):
ex.: operateur reduit du 2nd ordre avec CL separees (dem)
Fct de Green pr D^2 avec CL de Dirichlet. Distribution de Dirac
______________________________________________________________________ Matiere de l'examen de mai 2006 : h25 a 36.
s11---------------------------------------------------
*h25 Proprietes definissant la fct de Green.
Fct de Green pr un op. reduit du 2nd ordre avec CL separees (dem).
Existence & unicite de la fct de Green si le probl. hom. n'a que la sol.
triv. (dem :
construction de cette fct a partir de la fct de Lagrange).
Resol. d'un probl. aux lim a l'aide de la fct de Green (dem!).
h26: Probl. de Sturm-Liouville, val. pr & fct propres. {rappel:Proprietes
des op. hermitiques ds esp. vect complexe nD}
Val. pr. d'un pb de St-Liou est reelle (dem).
s12--------------------------------------------
*h27: Val. pr. d'un pb de St-Liou est simple (dem),
... admet fct pr. reelle (dem),
... fcts pr. de valeurs pr. diff st r-orthog. (dem).
Ces valeurs pr. forment suite strict. croiss. ->infini.
Th. de dev. de Hilbert-Schmidt (coroll: (sin(kx) est complet ds
L^2([0,pi])).
*h28: {Resol. d'un pb aux lim. avec EDLnH & CL sep. par meth. de
developpement
relativ. aux fcts propres du pb Sturm-Liou assoc}. s13--------------------------------------------------
*h29: ch.22: Ex. d'EDP pr la phys, l'ir. EDP lineaire, quasi lineaire.
Resol. de la plus simple des EDP du 2nd ordre D_xx(u)=0, sa SG, une bonne
cdt de Cauchy & de mauvaises"CI", pb bien pose -> existence & unicite, cbs
caract. de cette EDP (y=cte)
22.1.1: approx. de la sol d'un pb Cauchy d'une EDO par ses dev. de Taylor
(dem).
*h30: 22.2.3:meme demarche pr une EDP QL d'ordre 2 et def. de ses cbs
caract.
22.3.4: "factorisation" de l'op. diff. principal (100% 2nd ordre) a partir
des racines de ax^2+2bx+c en lien avec les variables "caracteristiques"
(cf. integrales 1eres de l'ED des caract.)
s15----------------------------------------------------
*h31:22.3: Chgt de variables lin