Exercice 1 (solution) :

Annexe 1 au chapitre 6 : Exercices récapitulatifs sur la distribution
binomiale
Note préliminaire : Les solutions présentées ici font rarement appel aux
tables des distributions et fonctions de répartition. Il est tout à fait
possible d'utiliser ces dernières dans la plupart des exercices.
CD audio : « 5-bit oversampling »
Dans un lecteur CD, le canal de transmission des informations ne traite que
des 0 et des 1. A cause de perturbations dues à l'électricité statique,
chaque chiffre transmis l'est avec une probabilité d'erreur de 1/5. Dès
lors, pour éviter une erreur, on transmettra une séquence de cinq 0 au lieu
de 0 et de cinq 1 au lieu de 1. Le récepteur décode selon la règle de la
majorité.
a. Quelle est la probabilité de mauvaise interprétation d'une
information ? Soit X, une variable aléatoire ~Bi(5 ; 0,2) représentant le nombre de
caractères erronés dans une séquence de cinq chiffres, et F =
« L'information est incorrectement décodée. ».
P(F) = P(X ( 3) = 1 - F(2) = 1 - [pic] =
1 - 0,328 - 0,410 - 0,205 = 0,057.
Donc la probabilité que la transmission d'un caractère binaire soit
correcte =
1 - 0,057 = 0,943. b. Une chanson standard de trois minutes est composée de 180.000 signaux
digitaux. Quelle est la probabilité qu'elle soit décodée sans erreur ?
Soit C = « Tous les caractères décodés sont conformes aux caractères
originaux. », P(C) = [pic] = 1,273e-4588 ( 0.
2 Réseau de téléphonie mobile Un réseau de téléphonie mobile sur un territoire donné se compose de n
relais et fonctionne un jour donné si, ce jour-là, au moins k relais sont
opérationnels.
Par mauvais temps (pluie, neige, ...), chaque relais fonctionne avec une
probabilité p1, indépendamment des autres. Par temps sec, idem mais avec
une probabilité p2. a) Si ( désigne la probabilité qu'il pleuve demain, quelle est la
probabilité que le réseau fonctionne alors ? Soit S = « Le réseau fonctionne. » ; R = « Le temps sera mauvais demain. ».
Et Fi(k) : la fonction de répartition quand X vaut k, , avec X une V.A.D.
~Bi(n, pi), (i = R,[pic]).
Donc par LPT :
P(S) = P([pic]).P(S/[pic]) + P(R).P(S/R) = [pic]=
[pic]
b) Si k = 5, combien de relais doit-on installer au total et au minimum
pour que le réseau fonctionne quelque soit le climat ? (N.B. p1 = 0,8 ; p2 = 0,95 ; on tolère 0,7 % de pannes.) Il faut P(S) ( 0,993 par temps de pluie ; donc n tel que [pic] ( 0,993
Donc 1 - F(4) ( 0,993. ( F(4) ( 0,007.
Donc, n = 10, voir tables de la fonction de répartition binomiale (Annexe 4
au Chapitre 6).
3 Design « never fail » Une firme de construction d'ordinateurs veut lancer une nouvelle gamme de
micro-ordinateurs « soft fail » et « never fail » en les équipant de
plusieurs processeurs qui prennent automatiquement le relais les uns des
autres en cas de panne.
Ces ordinateurs sont destinés à travailler dans des environnements très
perturbés. Ainsi la probabilité de panne d'un processeur vaut-elle 1-p au
cours d'une session de travail, indépendamment du fonctionnement des autres
processeurs.
Cependant pour fonctionner sous la garantie de « never fail », l'ordinateur
doit posséder une majorité de processeurs en ordre de fonctionnement. Pour quelles valeurs de p préfère-t-on un ordinateur à trois processeurs
plutôt qu'à 5 ? Soit Fi = « L'ordinateur à i processeurs fonctionne sous la garantie de
« never fail. » », (i = 3 ; 5). Soit Xi, le nombre de processeurs en fonctionnement dans un ordinateur à i
processeurs. Xi est donc une V.A.D. ~Bi(i, p), (i = 3 ;5). Pour i = 3, P(F3) = P(X3 ( 2) = P(X3 = 2) + P(X3 = 3) =
[pic]. Pour i = 5, P(F5) = P(X5 ( 3) = P(X5 = 3) + P(X5 = 4) + P(X5=5) =
[pic][pic]
[pic] On préférera la machine à 3 processeurs relativement à la machine à 5
processeurs, si P(F3) > P(F5). Donc si 3p2 - 2p3 > 10p3 - 15p4 + 6 p5 ou - 6 p5 + 15p4 - 12p3 + 3p2> 0 Donc si - 3p2.( 2p3 - 5p2 + 4 p - 1) > 0, soit 2p3 - 5p2 + 4 p - 1 < 0 Décomposant, on obtient : 2p3 - 4p2 + 2 p - p2 + 2 p -1 < 0 Regroupant et mettant 2p en évidence : 2p.(p2 - 2p + 1) - (p2 - 2 p +1) < 0 Soit (2p - 1).(p - 1)2 < 0. Donc 2p - 1 < 0, soit p < ½.
4 Le choix d'un jury Un étudiant se prépare à passer un examen oral important. Il se préoccupe
de savoir s'il sera en forme ou non. Son opinion est que s'il est en forme,
chacun de ses examinateurs le jugera suffisant avec une probabilité de 0,8
et indépendamment des autres examinateurs. Dans le cas contraire, cette
probabilité tombe à 0,4.
L'étudiant réussit si une majorité de ses examinateurs le juge suffisant.
Par ailleurs, il pense avoir deux fois plus de chances d'être en méforme
qu'en forme. A-t-il plus d'intérêt à demander un contrôle par 3 que par 5 examinateurs ? Soient les événements :
F = « Etre en forme.», ( P(F) = 1/3.
[pic]= « Etre en méforme. », ( P([pic]) = 2/3. {F, [pic]} forme un S.C.E.
S = « Etre reçu.».
Par la loi des probabilités totales (L.P.T.) : P(S) = P(S/F).P(F) +
P(S/[pic]).P([pic]) Soit X, le nombre de jugements positifs que l'étudiant obtiendra, X est une
V.A.D ~Bi(n, pi) avec n = 3 ou 5, le nombre d'examinateurs, et pi, la
probabilité d'être jugé suffisant par chacun des examinateurs, i = F ou
[pic]. P(S/F) = P(X ( 3/ F) s'il y a 5 examinateurs et P(X ( 2/ F) s'il y a
trois examinateurs.
P(S/[pic]) = P(X ( 3/[pic]) s'il y a 5 examinateurs et P(X ( 2/[pic]) s'il
y a trois examinateurs. Dans le cas de 5 examinateurs :
P(S/F) = [pic]= 0,2048 + 0,4096 + 0,32768 = 0,94208.
P(S/[pic]) = [pic]= 0,2304 + 0,0768 + 0,01024 = 0,31744.
Donc P(S) = 0,94208.1/3 + 0,31744.2/3 = 0,526. Dans le cas de 3 examinateurs :
P(S/F) = [pic]= 0,384 + 0,512 = 0,896.
P(S/[pic]) = [pic]= 0,288 + 0,064 = 0,352.
Donc P(S) = 0,896.1/3 + 0,352.2/3 = 0,533. Donc l'étudiant choisira un jury de trois examinateurs.
Annexe 2 au chapitre 6 : Exercices récapitulatifs sur la distribution de
Poisson Accidents sur l'autoroute :
On admet que le nombre d'accidents survenant quotidiennement sur une
autoroute est une v. a. de Poisson de paramètre ( = 3. a. QUELLE EST LA PROBABILITÉ QU'IL SURVIENNE 3 ACCIDENTS OU PLUS LORS D'UN
JOUR DONNÉ ? b. Même question si l'on sait qu'un accident au moins a eu lieu. Solution : Soit X, le nombre quotidien d'accidents sur l'autoroute, X ~Po(3).
a. On cherche P(X ( 3) = 1 - F(2) = 1 - P(0) - P(1) - P(2) =
1 - 0,050 - 0,149 - 0,224 = 1 - 0,423 = 0,577. b. On cherche P(X ( 3/ X ( 1) = P(X ( 3 ( X ( 1)/ P(X ( 1),
(Loi des probabilités composées.)
Or X ( 3 ( X ( 1, donc {X ( 3} ( {X ( 1}. Donc P(X ( 3 ( X ( 1) = P(X ( 3) = 0,577 (voir a. supra).
et P(X ( 1) = 1 - P(0) = 1 - 0,050 = 0,950.
Donc P(X ( 3/ X ( 1) = 0,577/0/0,950 = 0,607. Job de vacances :
E. SANZ, patron de la station-service du coin, organise le travail pour la
période de vacances. Basant son avantage compétitif sur le service à ses
clients, il désire qu'ils n'attendent pas trop avant d'être servis.
Pour les mois de juillet et d'août, il estime que le taux d'arrivée des
clients est de 3 par minute entre 10h et 18 h.
Si le nombre de clients par minute est supérieur à 4, il envoie un étudiant
servir les clients - en renfort du pompiste habituel - pendant 3 minutes.
L'étudiant se présente à 10 heures et quitte la station à 18 heures tous
les jours. A combien de temps peut-on estimer l'inoccupation de l'étudiant à la pompe
par jour ? Solution : Soit O = « Faire appel à l'étudiant pour 3 minutes. ». Soit Xi = une v.a.d. égale au nombre d'arrivées à la station-service de
clients par i minutes entre 10h et 18h un jour donné de juillet - août. Xi
~Po(i * 3). P(O) = P(X1 > 4) = P(5)+P(6)+P(7)+P(8)+ ... ou = 1 - F(4)
= 0,101 + 0,05 + 0,022 + 0,008 + 0,003 + 0,001 + 0 ou 1 - 0,815 = 0,185.
(utilisation des tables du cours, annexes 5 et 6 au chapitre 6). Or il y a 480 minutes dans les 8 heures de présence de l'étudiant. Donc pour chaque minute de ces 480, la probabilité de devoir prester 3
minutes est de 0,185. Selon l'approche fréquentiste, l'étudiant devra donc prester 0,185 * 480 =
88,8 ( 89 fois 3 minutes soit 267 minutes. Il sera donc inoccupé 600 - 267 = 333 minutes, soit un peu plus de 5 heures
et demie. Dactylographie :
Une agence de dactylographie emploie 2 dactylos. Le nombre d'erreurs par
page est de 3 pour Anaïs et de 4 pour Bertrand. Si la page a la même
probabilité d'être dactylographiée par l'une ou l'autre, quelle est la
probabilité qu'elle sera sans erreur ?
Solution : Soit Xa, le nombre quotidien d'erreurs par page d'Anaïs, Xa ~Po(3) et
soit Xb, le nombre quotidien d'erreurs par page de Bertrand, Xb ~Po(4).
Soit les événements :
A = « La page est dactylographiée sans erreur. » ;
An = « Anaïs dactylographie la page. » ;
Bt = « Bertrand dactylographie la page. ».
On sait que P(An) = P(Bt) = 0,5
et {An, Bt} forme un SCE (système complet d'événements).
On cherche P(A). Par la loi des probabilités totales :
P(A).= P(Xa=0/An).P(An) + P(Xb=0/Bt).P(Bt) = (0,050.0,5)+(0,018.0,5) =
0,034. Gardes à l'hôpital :
Durant le week-end, normalement, un seul chirurgien de garde est présent
aux urgences de l'Hôpital Saint Sang et il suffit d'habitude à la tâche.
Cependant, il s'avère que des vies humaines sont en jeu si le temps
d'attente avant traitement est trop élevé. Les responsables de l'hôpital
ont estimé que c'était le cas si plus de 5 personnes se présentaient en une
heure aux urgences. Dans ce dernier cas, on appelle chez lui, un autre
médecin. Si vraiment le flux des patients est trop grand (plus de 10
personnes à