Bac S 2015 Am du Nord EXERCICE I

Bac S 2015 Amérique du Nord EXERCICE I. SUPER HÉROS EN DANGER ... (6
points)
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1. Mouvement ascensionnel de Rocketeer
1.1. Pour la phase 1 : par définition [pic] , soit ici [pic].
Ainsi le vecteur accélération a même sens et même direction que le vecteur
vitesse [pic].
Le mouvement est vertical, la direction de [pic] est verticale.
Le mouvement est ascensionnel, [pic] est orienté vers le haut.
Pour la phase 2 :
[pic] avec [pic] ainsi [pic]. 1.2.1. L'autre force qui s'exerce sur le système M est son poids [pic].
1.2.2. Pour que le système décolle, il faut que la valeur de la force de
poussée [pic] (orientée vers le haut) soit supérieure à celle du poids
[pic] (orientée vers le bas).
F > P
F > mR . g
F > 120 × 10
F > 1200 N résultat conforme à la proposition C qui,
seule, indique une valeur supérieure à 1200 N.
Remarque : il est possible de faire une réponse plus rigoureuse en
appliquant la 2ème loi de Newton au système M et en utilisant la condition
ay > 0 ce qui implique Py + Fy > 0
soit - P + F > 0
donc F > P < 0
orienté vers le bas >0 orienté vers le
haut
1.2.3. D'après l'énoncé, la valeur de la force de poussée est « égale au
produit du débit massique de gaz éjecté par la vitesse d'éjection de ces
gaz » donc [pic].
Ainsi, [pic]
[pic]= 2,4 kg comme indiqué (1 seul CS en toute rigueur).
1.2.4. En appliquant la seconde loi de Newton au système M, dans un
référentiel terrestre considéré galiléen :
[pic]
Comme la masse du système est considérée constante malgré l'éjection des
gaz, alors [pic], on obtient [pic].
[pic]
En projetant sur un axe Oy vertical : Py + Fy = mR . aGy
En orientant l'axe vers le haut :- P + F = mR . aGy aGy = [pic] = [pic]
aGy = [pic] = 3,3 m.s-2 valeur non arrondie stockée en mémoire
Estimons la valeur v1 de la vitesse à l'issue de la phase 1, soit à la date
t1 = 3,0 s :
Par définition aGy = [pic] donc en primitivant, on obtient vy = aGy.t + C.
D'après les conditions initiales, à t = 0 s, on a vy = 0 donc C = 0.
Ainsi vy = aGy.t
vy(t = 3,0 s) = 3,3 ×3,0 = 10 m.s-1
[pic]
v1 = 10 m.s-1 2. Problème technique
2.1. D'après l'énoncé, la vitesse du système à la date t = 0 est nulle : on
peut donc éliminer les courbes C et D.
De plus, le système tombe verticalement donc le vecteur vitesse est orienté
vers le bas et avec l'orientation de l'axe Oy choisie Vy < 0.
Seule la courbe A est cohérente avec la situation présentée. 2.2. Considérons le système M dans le référentiel terrestre (supposé
galiléen) en chute libre. Il n'est soumis qu'à son poids.
Appliquons la deuxième loi de Newton : [pic]
soit [pic]
donc [pic]
Par projection sur l'axe Oy vertical orienté vers le haut, il vient ay = -
g
Par définition, [pic].
En primitivant, on obtient vy = - g.t + v0y. Le système tombe sans vitesse initiale, soit v0y = 0 m.s-1 donc : vy = -
g.t
D'autre part [pic].
En primitivant, on a : y = - ½ g.t² + C.
Or à t = 0 s, le système est à la hauteur y0 = 80 m, donc C = y0 d'où : y =
-½ g.t² + y0 Numériquement : y = - ½ × 10 × t² + 80
Soit, comme indiqué, y = - 5.t² + 80 2.3. Il faut que Batman arrive sur le lieu de décollage avant que Rocketeer
ne touche le sol.
D'après l'équation précédente, la durée de chute tC est telle que y(tC) = -
5.tC² + 80 = 0.
Donc [pic]= 4,0 s.
Il faut déterminer la distance que Batman doit parcourir en utilisant le
schéma.
L'échelle donne 1 cm ( 1 km
9,4 cm ( d
d = 9,4 km à parcourir en tC = 4,0 s, à la vitesse moyenne v.
v = [pic]
v = [pic] = 2,4×103 m.s-1 = 2,4 km.s-1
Pour que Rocketeer soit sauvé, il faut que la Batmobile roule à une vitesse
impressionnante, proche de 7 fois la vitesse du son (Mach 7). Il semble
impossible que Batman ait le temps d'intervenir. Les aventures de Rocketeer
risquent de s'arrêter lors de cet épisode.