Introduire la dérivée en 1re S - Educmath

Introduire la dérivée en 1re S comme réponse à une question !
_______________________________________________________ Anne Crouzier
IREM de Clermont-Ferrand Sommaire
Introduire la dérivée en 1re S comme réponse à une question! 1
I. Introduction 2
1.1.Extrait des programmes 2
1.2.L'approche cinématique 2
1.3. L'approche graphique avec des zooms successifs 2
1.4. Une autre approche : la vitesse de variation d'une fonction en un
point 3
II L'étude en classe 3
2. 1 Dans un premier temps 3
2.2 Etapes de l'études 4
1. Courbe représentative de la fonction f définie sur R par f(x) =
-x³ + 4 x² - 4 x + 3 4
2. Etude de la droite obtenue après avoir zoomé en un point. 6
3. Arriver à la définition du nombre dérivé 6
En conclusion 7
I. Introduction
Nous présentons dans ce qui suit une façon d'introduire le nombre dérivé
d'une fonction en un point, en 1re S, comme une réponse à une question qui
en motive l'étude[1]. Nous utilisons comme le suggère les programmes des
zooms successifs sur une représentation graphique obtenue à l'écran d'une
calculatrice mais nous initions cette démarche par une question dont le
sens est d'essayer de généraliser à une fonction quelconque, le coefficient
directeur d'une fonction affine, outil qui permet d'en déterminer le sens
de variation. 1. Extrait des programmes : |Contenus |Modalités de mise en |Commentaires |
| |oeuvre | |
|Dérivation | |On ne donnera pas de |
|Approche cinématique ou|Plusieurs démarches |définition formelle de |
|graphique du concept de|sont possibles: passage|la notion de limite. Le|
|nombre dérivé d'une |de la vitesse moyenne à|vocabulaire et la |
|fonction en point |la vitesse instantanée |notation relatifs aux |
| |pour des mouvements |limites seront |
| |rectilignes suivant des|introduits sur des |
| | |exemples puis utilisés |
| |lois horaires |de façon intuitive. |
| |élémentaires (trinôme | |
| |du second degré dans un|Dans les cas usuels, la|
|Nombre dérivé d'une |premier temps); zooms |limite de[pic] |
|fonction en un point: |successifs |s'obtient, après |
|définition comme limite|sur une représentation |transformation |
|de |graphique obtenue à |d'écriture, en |
|[pic] quand h tend vers|l'écran de la |invoquant des arguments|
|0 |calculatrice. |très proches de |
| | |l'intuition. On ne |
| | |soulèvera aucune |
| | |difficulté |
| | |à leur propos et on |
| | |admettra tous les |
| | |résultats u t i l e s .| .
Les programmes proposent deux approches possibles, cinématique ou
graphique. Chacune d'entre elle, répond-t-elle à une question, et si oui
laquelle ? 1.2 .L'approche cinématique : il y a bien sûr une question. C'est se
demander comment on peut obtenir la vitesse instantanée d'un mobile ou d'un
véhicule connaissant la loi horaire, c'est à dire la fonction donnant la
distance parcourue en fonction du temps. On peut supposer que cette
question fait bien sens pour les élèves et la façon d'y répondre est bien
de partir de vitesses moyennes et de "passer à la limite". Mais, ceci étant
fait, on peut alors se demander, pour une autre fonction, pourquoi en
calculer la dérivée en un point ! Pourquoi faire ? On peut, en utilisant
une situation que l'on trouve dans les programmes d'accompagnement, étudier
une fonction donnant la distance de freinage en fonction de la vitesse
initiale d'un véhicule. Mais alors que serait l'équivalent de la vitesse
instantanée ? Une petite analyse dimensionnelle nous conduit à dire que
c'est un temps, mais cela reste difficilement interprétable physiquement.
Il nous paraît donc difficile de généraliser l'intérêt du nombre dérivé par
cette approche. 1.3. L'approche graphique avec des zooms successifs : Techniquement, tout à
fait intéressant pour faire apparaître la tangente, sa pente, mais quelle
est la question pouvant motiver que l'on s'intéresse à cela? La question
que nous allons introduire conduit à s'intéresser à ce qui se passe au
voisinage d'un point et ainsi à exécuter de tels zooms.
1.4. Une autre approche : la vitesse de variation d'une fonction en un
point Il fallait donc trouver une question ayant une portée suffisamment
générique pour justifier que l'on s'intéresse au nombre dérivé.
On peut en trouver une au sein des mathématiques. On sait pour une fonction
affine, représentée graphiquement par une droite, en définir le coefficient
directeur ; celui-ci donne une information sur la façon dont la fonction
croît ou décroît. Pourrait-on faire la même chose avec une fonction
quelconque. Non globalement, mais alors on peut se demander si on pourrait
trouver un moyen de mesurer en chaque point la façon dont la fonction croît
ou décroît. On s'intéresse ainsi à la vitesse de croissance d'une
fonction. Lorsqu'on regarde la représentation graphique d'une fonction, on
peut voir son sens de variation mais aussi voir qu'en certains endroits du
graphe, elle "croît plus vite qu'en d'autres".
Au passage, notons que si le "nombre dérivé" est interprété ainsi, alors il
va de soi que si une fonction est à dérivée positive sur un intervalle
alors elle est croissante sur cet intervalle. En seconde, les élèves n'ont pas de difficulté à associer un lien entre la
représentation graphique d'une fonction, son allure et la croissance ou la
décroissance de celle-ci en certains intervalles de son domaine de
définition. En revanche, la détermination analytique du sens de variation
d'une fonction par comparaison des images de deux réels est vite
fastidieux, techniquement difficile pour des élèves qui ont du mal à
maîtriser le calcul algébrique requis pour une telle détermination. Le
calcul de dérivées va fournir un nouvel outillage qui va se substituer à
celui fourni mais peu travaillé des techniques abordées en seconde.
II L'étude en classe
2. 1 Dans un premier temps, nous avons fait le point sur ce que les élèves
savent du coefficient directeur d'une droite passant par deux points A et
B.
Les premiers souvenirs sont : quand le coefficient est positif, « ça
monte », et s'il est négatif, « ça descend » et même s'il est nul, « c'est
constant ».
En cherchant comment calculer ce coefficient, la première formulation
donnée est , puis une autre . Cela montre bien le lien étroit (ou peut-
être la confusion) qu'il y a pour les élèves entre une droite et la
fonction affine qu'elle représente.
Nous sommes alors amenés à rappeler la distinction entre l'aspect graphique
(droite, monte, descend, coefficient directeur ou pente), et l'aspect
analytique (fonction, croissante, décroissante, taux de variation).
En particulier, nous avons fait le point sur le taux de variation d'une
fonction affine, lequel est constant et égal au coefficient directeur. S'il
est positif, la fonction est croissante, s'il est négatif la fonction est
décroissante. Si deux fonctions affines f1 et f2 ont pour taux de variation
a1 et a2 avec 0