DS 07 - Patrice Rabiller

Terminale STI |Mathématiques |Vendredi 30 mars 2007 | |
|Année 2006-2007 |Devoir n° 7 |4 h |
Examen blanc de Pâques L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies
Exercice 1 (5 points) On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument .
On considère les nombres complexes =+i et =2-2i.
On pose z=;) ).
1. Écrire z sous forme algébrique.
2. a) Calculer le module et un argument de et de .
b) En déduire le module et un argument de z.
c) Écrire z sous forme trigonométrique.
3. Déduire des résultats obtenus aux questions précédentes, les valeurs
exactes de cos et de sin.
4. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal ;u),;v)) d'unité
graphique 2 cm.
a) Sur papier millimétré, construire les points A et B, images
respectives de et de .
b) Déterminer la nature du triangle OAB.
Exercice 2 (4 points)
Un client d'un supermarché reçoit lors de son passage en caisse un
ticket d'un jeu de grattage. Ce ticket comporte trois cases à gratter.
Pour la première case, deux résultats sont possibles 1 ou 2, pour la
deuxième et la troisième case, trois résultats sont possibles 1, 2 ou 3.
Le client gratte les trois cases de son ticket.
1. Préciser le nombre de résultats possibles.
2. On considère les événements suivants :
. A : « avoir trois chiffres identiques »
. B : « avoir au moins une fois un 2 »
a) Déterminer la probabilité de A, notée p(A) et celle de B notée
p(B).
b) Déterminer p(A?B) puis démontrer que p(A?B)=.
3. Le client reçoit 5 E lorsqu'il obtient trois chiffres identiques, 2 E
lorsqu'il obtient exactement 2 chiffres identiques et 0 E dans les
autres cas. On appelle X la variable aléatoire qui prend comme
valeurs les gains précédents
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire
X.
Problème (11 points) Partie A
On considère la fonction h définie sur ( par : h(x)=x+1-.
1. Déterminer la dérivée h' de h.
2. Résoudre dans ( l'équation 1-=0 et l'inéquation 1->0. En déduire le
sens de variation de la fonction h.
3. Calculer h(0). Dresser le tableau de variation de h (on ne calculera
pas les limites aux bornes de l'ensemble de définition).
4. Justifier que, pour tout nombre réel x, h(x)Â0.
Partie B
On considère la fonction f définie sur ( par : f(x)=-x+1)e\s\up 7(-
x).
On appelle C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère
orthonormal (O,;i),;j)) d'unité graphique 2 cm.
1. Déterminer la limite de f en -õ.
2. En remarquant que pour tout nombre réel x différent de 0, on a
f(x)=+) )), déterminer la limite de f en +õ.
3. a) Soit f' la dérivée de f. Démontrer que pour tout nombre réel x,
f'(x)=-3x-2).
b) Étudier le signe de f'(x) et dresser le tableau de variation de
la fonction f.
4. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous. On donnera les
valeurs arrondies au centième.
x |-1,3 |-1 |-0,5 |0 |0,5 |1 |2 |3 |4 |6 | |f(x) | | | | | | | | | | | |
5. On appelle A le point de C d'abscisse 0 et T la tangente à C en A.
a) Donner une équation de T. On l'écrira sous la forme y=g(x) où g
est une fonction définie sur (.
b) Démontrer que, pour tout nombre réel x, f(x)-g(x)=(1-2x)h(x), h
étant la fonction étudiée dans la partie A.
c) Étudier suivant les valeurs du nombre réel x, le signe de f(x)-
g(x). En déduire la position de C par rapport à T.
6. Tracer T et C.
7. a) Déterminer les nombres réels a, b et c pour que la fonction F
définie sur ( par
F(x)=+bx+c)
soit une primitive de la fonction f.
b) En déduire la primitive de f qui s'annule pour x=0.