Licence de mathématiques

Outils mathématiques
Cette présentation décrit les enseignements de mathématiques prévus dans
les U.F.R. S.F.A. et C.I.S.M. qui sont adaptés aux étudiants non-
mathématiciens. Elle complète la liste des enseignements de mathématiques
prévus dans la licence de mathématiques.
Semestre 1
Analyse élémentaire (3 crédits) Étude pratique des fonctions d'une variable réelle : calculs de limites
simples, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, calcul des
dérivées, tableau de variation, dérivées successives, formules de Leibniz,
formule de Taylor-Young, branches infinies, tracé de la courbe
représentative, développements limités simples (somme, produit,
composition).
Fonctions usuelles : fonctions polynomiales (factorisation), fonctions
exponentielles réelles, fonctions logarithmes, fonctions puissances,
fonctions hyperboliques, fonctions circulaires, formules
trigonométriques .
Intégration : calculs de primitives simples, intégration par parties,
changements de variables.
Équations différentielles linéaires : équations linéaires du premier ordre
(existence et unicité), équations linéaires du second ordre à coefficients
constants (existence et unicité).
Méthodologie : travail en demi-groupe sur les méthodes d'apprentissage ,
prise de notes, apprentissage du cours par couches successives, fabrication
de fiches de résumés du cours, travail des exercices de travaux dirigés,
rédaction des exercices, préparation des contrôles et examens.
Utilisation de WIMS
Mathématiques générales (6 crédits) Ensembles, applications, lois, relations : notions élémentaires
(définitions, exemples simples).
Nombres entiers, dénombrements : nombres entiers naturels (propriétés
fondamentales de N, récurrence, suites), ensembles finis (cardinaux,
opérations sur les ensembles finis), dénombrements (arrangements,
combinaisons), ensembles Z et Q.
Nombres complexes : parties réelle et imaginaire, conjugaison, affixe d'un
point, module, cercle trigonométrique (formules d'Euler, de Moivre),
argument, racines n-ièmes de l'unité, équation du second degré.
Étude pratique des suites : suites arithmétiques et géométriques, suites
convergentes, majorations, opérations sur les limites, formes
indéterminées, calculs de limites, suites monotones.
Compléments sur les fonctions : fonctions monotones, théorème des
accroissements finis, réciproque d'une fonction (réciproques des fonctions
hyperboliques, réciproques des fonctions circulaires), développement
limités et applications aux calculs de limites et de branches infinies.
Éléments d'algèbre linéaire : systèmes linéaires, matrices (produit et
inverse) en dimension 2 et 3.
Géométrie élémentaire du plan : repérage dans le plan (repère cartésien,
coordonnées polaires), produit scalaire, déterminant, droite, cercle,
utilisation des nombres complexes en géométrie plane (distance, angle,
barycentre, orthogonalité), similitudes (rapport, homothéties,
translations, rotations, écriture complexe d'une similitude directe).
Géométrie élémentaire de l'espace : repérage dans l'espace (coordonnées
cartésiennes, cylindriques, sphériques), produit scalaire, produit
vectoriel, produit mixte, droites et plans, sphère.
Courbes planes paramétrées et coniques : courbe définie par une
représentation paramétrique, interprétation cinématique, courbe définie par
une représentation polaire, coniques (foyer, directrice, équation polaire).
Méthodologie : vérification de la façon dont les étudiants travaillent et
propositions adaptées en vue d'une amélioration de l'efficacité de leur
travail.
Utilisation de WIMS
Ouverture mathématique (3 crédits) Algèbre linéaire : espaces vectoriels (vecteur, bases), applications
linéaires et matrices (opérations, rang, inverse), déterminants, systèmes
linéaires (solutions, transformation).
Équations différentielles : problèmes différentiels, problème de Cauchy,
équations linéaires sans avec second membre, équations linéaires avec
second membre, équations linéaires du premier ordre, équations linéaires du
second ordre à coefficients constants, méthodes numériques de résolution.
Applications : cinétique chimique, dynamique des populations.
Semestre 2
Mathématiques pour les sciences 2 (6 crédits) Matrices et systèmes linéaires, opérations sur les matrices, inversion de
matrices (rappels).
Espaces vectoriels : sous-espaces, familles libres, génératrices, sous-
espaces vectoriels engendrés, bases, coordonnées, dimension, changement de
bases. Exemples dans R2 et R3.
Applications linéaires : Exemples uniquement dans R2 et R3. Matrices
d'applications linéaires.
Définition et formules de changement de bases.
Déterminant et rang dans R2 et R3. Méthodes pratiques de calcul.
Polynômes et fractions rationnelles : Fonctions polynômes, racines,
factorisation. Décomposition des fractions en éléments simples.
Compléments d'intégration : intégration sur un intervalle borné. Calcul de
primitives de fractions rationnelles, de fractions rationnelles des
fonctions trigonométriques. Définition des intégrales généralisées avec
quelques exemples simples.
Suites monotones et récurrentes : exemples simples.
Introduction aux fonctions de 2 ou 3 variables : dérivées partielles,
conditions nécessaires et conditions suffisantes d'extremum pour les
fonctions de 2 variables. Exemples de calculs d'intégrales doubles et
triples.
Algèbre linéaire (3 crédits) Espaces vectoriels : vecteurs, système générateur et système libre, bases,
coordonnées, dimension, somme et somme directe, exemples dans R2 et R3.
Applications linéaires et matrices : applications linéaires, matrices
d'applications linéaires, opérations sur les matrices, inversion et
transposition des matrices, changement de bases, exemples dans R2 et R3.
Déterminants : formes multilinéaires alternées, définition des
déterminants, propriétés des déterminants, calcul des déterminants.
Systèmes linéaires : systèmes homogènes, systèmes non-homogènes, systèmes
de Cramer, systèmes généraux.
Utilisation de Matlab.
Statistique descriptive et probabilités (3 crédits) Notions de base : variables, tableaux, graphiques.
Distributions à une variable : caractéristiques de position,
caractéristiques de dispersion.
Distributions à deux variables : covariance, coefficient de corrélation
linéaire, ajustement linéaire.
Vocabulaire de base des probabilités , combinatoire simple.
Lois et variables : lois de probabilité discrètes (Bernoulli, binomiale,
géométrique, de Poisson), variables aléatoires discrètes, espérance,
variance, covariance, indépendance.
Lois de probabilité à densité (uniforme, normale, log-normale,
exponentielle, gamma, beta), variables aléatoires à densité, espérance,
variance, covariance, indépendance.
Semestre 3
Mathématiques pour les sciences 3 (6 crédits) Suites et séries numériques, Séries entières, séries de Fourier : méthodes
pratiques.
Formes quadratiques. Réduction des matrices : vocabulaire de base et
méthodes pratiques.
Fonctions de plusieurs variables : continuité, dérivées partielles,
optimisation des fonctions de R2 dans R, par réduction d'une forme
quadratique.
Compléments d'intégration : Méthodes de calcul des intégrales multiples,
curvilignes et de surface.
Mathématiques générales (3 crédits) Réduction des matrices carrées : vecteurs propres et valeurs propres,
diagonalisation des matrices.
Formes bilinéaires et quadratiques : formes bilinéaires, décomposition des
polynômes quadratiques, orthogonalité.
Systèmes différentiels linéaires : systèmes linéaires homogènes et non-
homogènes, équations différentielles linéaires, solutions, systèmes à
coefficients constants, équations différentielles linéaires à coefficients
constants.
Calcul différentiel : applications dérivables, dérivées partielles,
propriétés de la dérivation, extrema, dérivées d'ordre deux.
Calcul intégral : fonctions intégrables, intégrales multiples, intégrales
curvilignes et de surface.
Semestre 4
Mathématique pour les sciences 4 (6 crédits) Algèbre linéaire : réduction des matrices, polynôme caractéristique,
théorème de Cayley-Hamilton (admis)
Algèbre bilinéaire : forme bilinéaire, forme bilinéaire symétrique, forme
quadratique, théorème d'inertie de Sylvester, réduction de Gauss, procédé
d'orthogonalisation de Gram-Schmidt, application aux coniques.
Fonctions de plusieurs variables : calcul différentiel dans R2 et R3,
graphes et courbes de niveau, droite et plan tangents. Extrema libres
(conditions du 1er et 2ième ordre). Extrema liés (multiplicateurs de
Lagrange).
Transformations intégrales (de Laplace et de Fourier).
Statistique descriptive et probabilités (3 crédits) Notions de base : variables, tableaux, graphiques.
Distributions à une variable : caractéristiques de position,
caractéristiques de dispersion.
Distributions à deux variables : covariance, coefficient de corrélation
linéaire, ajustement linéaire.
Lois et variables : lois de probabilité discrètes (Bernoulli, binomiale,
géométrique, de Poisson), variables aléatoires discrètes, espérance,
variance, covariance, indépendance.
Lois de probabilité à densité (uniforme, normale, log-normale,
exponentielle, gamma, beta), variables aléatoires à densité, espérance,
variance, covariance, indépendance.
Opérations sur les variables aléatoires : réduction, somme de variables
indépendantes.
Échantillons : estimation sans biais, loi des grands nombre