Matière d' Analyse I pour l'examen de juin (second ... - ULB

Matière d' Analyse I pour l'examen de juin (second quadrimestre 2007-2008) Matière vue au cours théorique d' Analyse 1 en 2008,
ecriture abregee et (souvent) sans accents.
Matiere entre { }= donnee pour information, ne fait pas partie de la
matiere d'examen.
Matiere entre [ ]= non donnee.
sm= semaine m ; hn= heure n ; h8_1=1ere heure du chap.8.
Document officiel du 22 mars 08.
s13= carnaval (jeudi 7 fev.) -----------------------------------------------
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*h19 : chap. 5 : Intégrale simple de Riemann
Interpretations intuitives : 1. aire algebrique (5.1.1),
2. « valeur moyenne » de f x longueur du domaine d'integration.
3. masse totale d'un fil rectiligne de masse specifique variable
((9.10) A propos du CT scan :
Jeu : reconstituer un objet a partir de ses « projections ponderees».
Decroissance d'un rayon X exponentiellement selon la masse de matiere
traversee. Mesures des masses traversees (= integrales le long de
droites). Theoreme de Radon : reconstruction de la fonction de repartition
des masses. Autres techniques d'imagerie (.
(5.1.2) Subdvisions d'intervalle et raffinements de subdivisions.
(5.1.3) Fcts en escalier & leurs integrales.
Comparaison de celles-ci svt que celles-la majorent ou minorent une fct
bornee f.
Def. de l'integrale
(5.1.4) Integrabilite et def. de l'integrale d'une fct bornee f sur un
intervalle.
(5.1.5) CNS d'integrabilite.
(5.1.7) Grandes & petites sommes de Darboux (et CNS d'integrabilite
(suite)).
*h20 : (5.3.1) Fcts continues (sauf en un nb fini de pts) sont integrables, (5.3.3) l'integrale ne change pas si on change la fonction en un nombre
fini de points,
(5.3.4) fcts monotones sont integrables (dem). {(5.3.5) Th. de Lebesgue}.
(2.15.5) Escalier du Diable : une fonction croissante sur [0,1] , dont
l'int. vaut ½, dont la derivee est nulle sur un sous-ensemble de [0,1] de
longueur 1, dont la pente moyenne vaut 1 !!!
(5.11.4) paradoxe de l'entonnoir de Torricelli (utilise des integrales
simples pour évaluer le volume d'un solide de révolution et l'aire d'une
surface de révolution)(avec facteur 2 pi).
s14 Ma12fev.---------------------------------------------------------------
---------------------------*h21: (6.6.4) Resolution d'une EDLH (lineaire
homogene) d'ordre 1 (Variables Separ.),
(6.6.5) methode de la Variation de la Constante pr EDLnH du 1er ordre,
(6.6.6) existence et unicite de la solution d'un probleme de Cauchy pour
une EDL d'ordre 1 y'+ay=b (coeff. NON csts)(dem).
(6.6.1) ED lineaires, operateurs diff. lineaires (dem).
(6.6.2) .Ens. des sol. d'une EDLH d'ordre n est un esp. vect. (dem) de dim
n.
*h22: (6.6.3) Ens. des sol. d'une EDLnH= transl. de celui de l'EDLH
associe (dem)
Derivees de x->exp(cx) pr c=cste complexe.
(6.10. 1-6) Resolution d'une EDLH du 2nd ordre a coeff. csts (dem).
(6.10.7) Re(z) & Im(z) sont aussi sol. si z est sol. d'une EDLH a coeff.
reels (dem). (6.11.6) Methode des coeff. indetermines (ebauche, voir
seances d'ex.).
Presentation de l'aide-memoire. Savoir effectuer des chgts de variables
dans les EDO!
Je14fev. -------------------------------------------------------------------
-------------------------- *h23= h 8_1: (6.9) EDO du 2nd ordre pouvant etre ramenees a une EDO du 1er
ordre.
Chap8: (8.1.1) importance des fcts de plusieurs variables & exemples :
pression atm., force gravit., [duree du jour].
(8.1.2) Formes linéaires, applic. linéaires, applic. affines.
(8.1.4) Fcts homogenes de degre d et en partic. deg0 (si dom. est dans
R^2 :ne dépendant que de y/x (ou theta) , graphes de fcts d'un pave de R^2
dans R, par ex. fcts "a variables separees", paraboloïde de revolution &
paraboloïde hyperbolique & ses ens. de niveau.
(8.2. 1-2) lim de f en un point a, continuité de f en un point a, sur un
domaine A : def.
*h24 = h 8_2 : (8.2.3-7). "On peut travailler compos./composante de la fct,
mais pas pour la variable": attention au chemin suivi pour x->a.
(8.2.9) limite d'une somme, d'un produit, d'une composee de fcts.
(8.2.10) Continuité des sommes, produits, composees de fcts continues.
Coroll: continuité des fcts polynomiales, de x->norme(f(x)), [de x->det(mat
a_ij)]...
(8.3.2) Ens. conVexe, ens. conNexe (par arcs),
image d'un connexe par une fct continue est connexe.
(8.3.4) Image d'un compact par une fct continue est un compact.
Consequence de (8.3.4) si fct scalaire: CS d'existence de maximum, de
maximant(s),....
s15 (19 & 21 fev) ----------------------------------------------------------
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*h25 = h 8_3 : (8.4.1-3) Derivee partielle d'une fct de n variables,
interpretation geom. s/ gph f si f est scalaire et axe des images= axe
vertical ( et repere orthonorme).
(8.4.6) Règles de calcul de dériv. partielles: linearite de la derivation,
dériv. d'un prod. (8.4.7) operateurs de derivation, derivee d'un produit.
(8.4.8-10) Derivees d'ordre>1, importance de l'ordre des derivations,
classe C^k & ses avantages.
(8.5.1-3) Derivees directionnelles: def. et interpretation graphique.
*h26 = h8_4. pathologies: (8.5.4) non existence de derivees direction.
alors que les derivees partielles existent ; (8.5.5) tangentes existant ds
ttes les dir., mais pas coplanaires en un point de z=f(x,y) (calculs non
détaillés au cours).
(8.6.0) pp.72,... Delta f, df, erreurs d'approxim. et leur évolution pour
(x,y)->(a,b).
(pp. 76, ...) Formule pratique donnant df(a) en un pt a pour une fct f
(supposée differentiable en ce pt) à partir des derivees partielles:
Image du vecteur e_1 par df(a)= derivee/rpt x_1 (dem).
Image du vecteur u par df(a)= derivee ds dir u;
p. 76'' Image d'un vecteur qcq (déduit de la linéarité de df(a)). --------
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*h27 = h8_5 : (8.6.4) Def. abstraite de differentielle en un pt.
p. 76''' Puisque l'image du vecteur e_1 par l'application lineaire df(a)
est la derivee par rpt a x_1, mat(df(a))= Matrice jacobienne de f en a .
Vecteur gradient
(8.6.7) df(a)= combili des dx_i = somme de formes lineaires .
(8.6.8) Difference entre x_i (=nombre) et dx_i:x->x_i (=forme lineaire).
(8.6.9) CS de differentiabilite : C^1 (rappel).
(8.7) Règles de calcul: (8.7.1-4) diff. d'une somme, d'un prod., d'une
composée de fcts, et leurs conséquences: toute combili, produit, composee
de fcts differentiable (resp. de classe C^k) l'est aussi.
Application des règles de calcul de diff., de derivées, y compris les
derivees d'une fct composee!!!
(8.1.6) fct ne dependant que de r (ex.: sombrero), utilisé en (8.7.8).
*h28=h8_7: Exemples: (8.7.8) (grad d'une fct radiale) ,
(8.7.15) (dériv. force appliquée en un pt mobile) , (8.7.13) dériv. fct
implicite.
(8.1.13) Divers lieux geometriques associes a une fct:
ne pas confondre: gph, im , ens. de niveau, chp de vect.! (p.32)
Approxim. du 1er ordre de f près de a.
(8.6.5) : Eq. plan tangent a gphf au point (a,b,f(a,b)) pour f
differentiable en (a,b)
(8.8.1) : eq. gph(f) & eq. hyperplan tg au gph d'une fct scalaire
differentiable
s16 *h29=h8 _8: ---------------------------------------------------------
-
(8.8.2) : eq. gph(f) & eq. sous-esp tg au gph d'une fct vectorielle
differentiable
(8.8.3) : grad f donne direction de + grde pente et la mesure (dem!)
(8.8.4): grad f est perpendic. aux ens. de niveau de fcts scalaires(dem:
n=2,puis pr n>=3), {commentaire pr systemes d'eq. (ou intersection
d'hypersurfaces (8.8.5))}.
*h30 = h8_9 : (8.9.0)=(7.4.14) Theoreme des accroissements finis ne tient
pas pour les fonctions vectorielles (ex.: mvt circulaire unif.)
(8.9.0)=(7.4.16) Th. majorant le taux d'accroissement.
(8.9.1): Th. accroissements finis (dem)+ commentaire.
(8.9.2) notations : puissance n d'un op. diff. linéaire d'ordre 1, puis
évaluation en a. (8.9.3): dév. de Taylor (défini à partir d'un calcul fait
pour la restriction de la fct a un segment)
*h31=h8_10 : (8.9.4) Comportement limite du reste du dév. de Taylor
(8.9.5) formule du reste de Lagrange.
(8.9.6): extrema libres de fcts scalaires. (8.9.7) CN du 1er ordre, pt
critique (dem)
*h32= h8_11: (8.9.8) approxim. du Delta f par dév. Taylor du 2nd ordre,
position gphf par rpt plan tangent.
(8.9.10) forme quadratique de la diff. 2nde et matrice hessienne
(8.9.9) gph de formes quadrat. canoniques sur R^2, formes quad. définies
positives,....
(8.9.13) : CS & CN du 2nd ordre d'extremant local libre
(8.9.11): forme quad. de d2f semidéfinie positive...= cas douteux
(8.9.14): CS pour l' existence d'extremants globaux
Extremums liés : (8.10.2) déf., (8.10.3) th. du multiplicateur de
Lagrange : visualisation {& dém.}
s17 : (4 & 6 mars08) *h 33= h8_12 :-----------------------------------------
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(8.8.6), (8.8.7) L'image d'une fct C^1 de R^n ds R^m (n f=0 (dem!)
(5.5.1) {Composee de fcts intégrables ne l'est pas nécessairement}
*h35 : (5.5.1) Composee d'une fct integrable par une fct cont. est
integrable,
(5.5.2) carre d'une fct integrable est integrable (dem),
(5.5.2) produit de 2 fcts integrables est integrable (dem),
(5.5.3) Valeur absolue