Applications - state-space

Applications Exercice 1 1-Etudier la stabilité de ce système décrit par l'équation d'état suivant :
[pic]
Solution :
C'est le cas de valeurs propres complexe conjuguées :
P1=-2+3j
p2=-2-3j
Le deux valeurs propres sont à partie réelle négative donc le système est
stable.
Exercice 2
soit le système linéaire discret décrit par l'équation d'état suivante :
[pic]
Etudier en fonction de [pic]la commandabilité, L'observabilité et la
stabilité de ce système.
Solution :
Etude de la commdabilité
[pic]
[pic] ssi [pic]
Le système est commandable pour tout [pic]
Etude de l'observabilité [pic]
[pic]
detO=0 [pic]
[pic]le système est observable [pic]
Etude de la stabilité
Les valeurs propres sont : [pic]
[pic]
[pic]le système est stable [pic]
Exercice 3
On considère le système continu suivant :
[pic]¨ Le système est-il stable ? commandable ? observable ?
Calculer une loi de commande par retour d'état U(t)=-KX(t) telle que le
système en boucle fermée possède un coefficient d'amortissement ?=0.6 et
une pulsation naturelle ?0=10 rad/s
Solution : Etude de la stabilité
Le système est sous forme compagnon
[pic]
Valeur propre double [pic][pic]le système est stable
Etude de la commdabilité
Le système est sous la forme canonique de commandabilité (forme compagnon)
[pic]le système est commandable
Etude de l'observabilité
[pic]
[pic][pic]le système est observable
[pic] Le système est sous sa forme compagnon
[pic]
Exercice 4
Etudier la stabilité du processus dont l'évolution est décrite par
l'équation :
[pic]
Solution :
il vient par majoration la matrice :
[pic]
Les éléments non linéaires étant isolés dans la dernière colonne,
l'application du critère de borne-Gentina conduit à la condition suffisante
de stabilité.
[pic]
Soit [pic] [pic]
Exercice 5
La mise en équation d'un processus a conduit à un modèle dans l'espace
d'état [pic] difficile à identifier et dont les paramètres éventuellement
non linéaire et non stationnaire ont leur évolution bornée :
[pic]
Etudier la stabilité du système.
Solution :
Il vient par majoration la matrice
[pic]
D'où la condition suffisante de stabilité :
[pic]
Le système est donc stable. Exercice 6
Soit le système défini par la fonction de transfert : [pic]
donner une représentation d'état sous forme compagnon de ce système.
étudier la stabilité du système.
Exercice 7
Soit le système continu défini par l'équation d'état suivante : [pic]
Etudier la stabilité, la commandabilité et l'observabilité de ce système.
Calculer une loi de commande par retour d'état qui permet d'imposer au
système les pôles -5 et -7.
déterminer, pour ce système, l'équation d'état d'un observateur possédant
un pole double égale à -10.
Exercice 8
On considère l'équation d'état Discrète suivante :
[pic] Etudier la stabilité de ce système.
Calculer la fonction de transfert Y(z)/u(z).