Le Cx de la sphère - Numericable

LE Cx DE LA SPHÈRE
selon son Reynolds et sa rugosité
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Version du 14/03/16
L'adresse où ce texte est téléchargeable dans sa dernière version Word
est :
http://perso.numericable.fr/gomars2/aero/cx_sphere.doc
Résumé :
Après une brève évocation de l'existence des sphères parmi les
objets naturels et parmi nos objets manufacturés, nous proposerons un
bref historique de la mesure du coefficient de Traînée des sphères (le
fameux Cx), mesure qui donna lieu à une découverte de la plus haute
importance : celle de l'influence primordiale du Nombre de Reynolds sur
les écoulements ; dans ce bref historique nous profiterons d'archives
de la soufflerie Eiffel auxquelles M. Martin PETER, conservateur, nous
a donné accès, ce dont nous le remercions.
Nous définirons au passage le fameux nombre adimensionnel de
Reynolds et nous verrons qu'aux Nombres de Reynolds fréquemment
rencontrés en aéronautique, on peut considérer que la sphère lisse
possède deux Cx tout à fait différents.
Après avoir présenté deux libellés analytiques dépeignant de
façon satisfaisante l'ensemble des mesures du Cx de la sphère lisse
(sur toute la plage des Reynolds possibles), nous reviendrons sur les
raisons du comportement très particulier de ce corps, comportement qui
est lié à l'évolution de la Couche Limite qui l'enveloppe.
Nous mentionnerons l'influence très forte de la rugosité (ou des
dispositifs turbulateurs) sur le Cx de la sphère et parlerons des
ballons et balles de sport (non animés de rotation).
Nous ferons état des principales difficultés que rencontrent les
chercheurs dans les mesures de Traînée de la sphère et terminerons en
indiquant que le comportement de la sphère est l'archétype du
comportement de tous les corps 2D ou 3D profilés.
La première partie de ce texte se limite aux écoulements
subsoniques de sphères non animées de rotation, mais nous évoquerons à
la fin l'influence du nombre de Mach sur le Cx de la sphère, ce qui
nous inscrira en faux contre un certain nombre de publications.
La Traînée aérodynamique des corps sphériques est sans doute
moins d'actualité qu'aux temps où les canons tiraient des boulets
sphériques. Néanmoins la sphère reste une forme très utilisée par
l'industrie.
L'une des sphères qui a le plus compté dans l'histoire est sans
doute le vaisseau Vostok de Yuri Gagarine, premier homme à praêtre allé
dans l'espace et en en être revenu vivant. Voici cette sphère calcinée
par sa rentrée dans l'atmosphère :
[pic]
D'après Wikipédia
Le choix d'une telle forme pour ce vaisseau spatial avait été
dicté par la bonne connaissance que les ingénieurs russes avait de
l'aérodynamique de la sphère (depuis le haut hypersonique jusqu'au bas
subsonique).
D'autres corps sphériques connaissent de fréquentes heures de
gloire : ce sont les ballons et balles de sports (football, volley,
handball, tennis, golf, ping-pong, etc.)
Les footballeurs, par exemple, dont les qualités ne sont pas
uniquement physiques, ont appris à utiliser l'aérodynamique très
particulière de leur ballon : cette aérodynamique, à quelques détails
près est celle de la sphère et nous l'étudierons ensemble (au moins
pour les ballons non dotés de rotation).
La plupart des acteurs de jeux de balles utilisent de même les
propriétés aérodynamique singulières de la sphère, mais les golfeurs
ont, de plus, influé sur la fabrication de leur balles (sur leur état
de surface) afin que leur traînée soit moins importante.
Une infinité d'autres sphères, cependant, ne sont pas fabriquées
de mains d'homme : tension de surface aidant, les gouttes de
brouillard, de bruine ou de pluie, par exemple, présentent des formes
parfaitement sphériques (lorsque leur diamètre est inférieur à
2 mm).[1]
Au-delà de ce diamètre, la vitesse de chute des gouttes de
pluie, ou plutôt le jeu de pression aérodynamique qui en résulte,
déforme lesdites gouttes et leur ôte leur forme sphérique. Cependant,
en l'absence de vitesse (comme par exemple en impesanteur dans
l'espace), les molécules d'eau (ou de liquide, en général) tendent bien
à se regrouper sous une forme sphérique :
[pic]
Source : Wikipédia :
https://en.wikipedia.org/wiki/Weightlessness
Nos lecteurs savent surement que les gouttes de pluie tombent,
mais certains seront sans doute étonnés d'apprendre que les gouttes
d'eau minuscules qui forment un brouillard tombent également, en une
chute libre extrêmement lente (nous préférons d'ailleurs l'expression
chute aérienne à celle de chute libre).
Le régime aérodynamique de l'écoulement de l'air autour de ces
gouttes de brouillard se nomme régime de Stokes (du nom de son
découvreur). Ce régime est celui de la plupart des phénomènes de
décantation de particules dans des fluides : on peut donc dire que les
gouttes de brouillard décantent lentement dans l'air...
Dans ce régime de Stokes, la Traînée aérodynamique est
proportionnelle à la vitesse du corps, et non au carré de cette vitesse
(nous aurons l'occasion d'y revenir).
Quoiqu'il en soit de la singularité de l'aérodynamique des
sphères, leur comportement reste soumis au principe de causalité, c'est-
à-dire que les mêmes causes produisent les mêmes effets [2]. Il n'en
faut pas plus pour composer, par exemple, un anémomètre comme
l'anémomètre à boule Daloz :
[pic]
D'après Wikipédia
Lorsque le vent souffle (de droite, sur la photo), cet
anémomètre Daloz s'oriente face à lui, grâce au secteur gradué qui fait
office de pale de girouette (on note le contrepoids, à droite de
l'engin).
Ceci dit, la fonction principale de ce secteur gradué est
évidemment de mesurer l'angle dont recule la boule sous l'effet de sa
Trainée aérodynamique.
Il est assez facile de prouver que la vitesse du vent V à
mesurer est liée à la Vitesse Limite de Chute VLim de la boule (vitesse
qu'elle attendrait si elle était abandonnée à la pesanteur) par la
relation V2 = VLim2 tan(?) (si V est la vitesse du vent à mesurer et ?
l'angle de recul de la boule).
Cette relation reste cependant approximative car elle est fondée
sur l'hypothèse implicite que le Cx frontal de la boule est constant
quel que soit la vitesse du vent, ledit Cx étant défini comme honorant
la loi bien connue :
T = ½ ? S Cx V²
...avec T la Traînée aérodynamique, ? la Masse volumique de
l'air, S la section frontale de la boule, V la vitesse de l'écoulement
autour de la sphère et Cx le coefficient de Trainée de la boule établi
en référence à sa section frontale.
La définition, universellement adoptée (de nos jours), du Cx
frontal de la sphère peut évidemment être tirée de cette relation.
C'est :
Cx =
...avec T la Traînée aérodynamique, ? la Masse volumique de
l'air déplacé par le vent, S la section frontale de la boule (? D²/4,
si D est son diamètre), V la vitesse de l'écoulement (c'est-à-dire du
vent), l'ensemble étant écrit en unités cohérentes (par exemple N, Kg,
m et s).
Notons au passage que le choix de la surface de référence S ne
pose guère de questions dans le cas de la sphère, c'est pourquoi on ne
précise presque jamais que son Cx est référencé à sa section frontale
? D²/4 [3]. Nous reviendrons plus bas sur ce point.
Il ne faudrait pas cependant déduire de cette définition
encadrée du Cx que celui-ci est constant, c'est-à-dire qu'une
multiplication par n de la vitesse de l'air entraînerait une
multiplication par n² de la Traînée (à ? et S constants). Nous verrons
même que ce Cx est éminemment variable.
Il résulte de cette variabilité du Cx que la relation
V2 = VLim2 tan(?) qui est censée présider à l'échelonnement des
graduations de l'anémomètre Daloz n'est vraiment valide qu'aux
alentours de ? = 45° (où V = VLim). [4]
Autrement dit : la gravure des graduations du secteur gradué ne
doit pas être faite par utilisation de la relation V² = VLim² tan(?)
mais bien par un étalonnage pratique dans toutes la gamme de vitesses
de vent nécessaire (et d'après des mesures de la vitesse du vent
réalisées à l'aide d'autres procédés).