Corrigé bac STI La Réunion Juin 2006 - Génie des matériaux, génie ...

Corrigé bac STI La Réunion Juin 2006 - Génie des matériaux, génie mécanique Exercice 1 (4 points) Partie A Résolution de l'équation différentielle (E) : 2y'+y=0
1. Résoudre (E).
On sait qu'une équation différentielle de la forme ay'+by=0 a pour
solution générale y=x) où k est une constante réelle quelconque.
Donc, en appliquant cette règle, l'équation (E) a pour solution :
))).
2. Déterminer la solution particulière f telle que f(0)=0,5.
On a : f(x)=).
Donc : f(0)=k
Donc : k=0,5.
La fonction f cherchée est donc définie par : )).
Partie B Calcul d'un volume
1. Calcul du volume de la partie cylindrique.
Le volume d'un cylindre de rayon r et de hauteur h est : V=h.
Donc, ici, le volume, exprimé en est : =?××0,5=0,125?)).
2. Calcul du volume .
On a : =?dx)
Donc : =?)\s\up 6(2)dx)
Donc : =?dx)
Donc : =?-)\o\al(\s\do 10( 0);\s\up 11( 0,5))
Donc : =?)\o\al(\s\do 10( 0,5);\s\up 11( 0))
Donc : =?-)
Donc : =0,25?)=0,25?) )))).
On en déduit que le volume du socle est : V=+
V=0,125?+0,25?)
V=+)
V=)
);8) )))
Ce qui donne, à près : ).
Exercice 2 (5 points) 1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation : iz=-
+i.
Cette équation équivaut successivement à : z=+i;i) )
z=+i)i;) )
z=i+;-1) )
i)).
2. On pose =)
a) Déterminer le module et un argument de .
D'après l'écriture même du nombre , on a : )=2 et arg)=)).
b) Forme algébrique de .
On a : =2)+isin))
Donc : =2+i;2) ))
Donc : =1+i)).
3. On pose =- et =)\s\up 6(2).
a) Formes algébriques de et de .
on peut écrire : =-1-i)).
et : =))\s\up 12(2)
donc : =)
donc : =4+isin)
donc : =4+i;2) ))
finalement : =-2-2i)).
b) Placer les points A, B et C.
c) Montrer que ABC est un triangle rectangle
On a : ,)=,)+,)
Donc : ,)=--)+-)
Donc : ,)=-;-) ))
Donc : ,)=-1-i;-2+2i-1-i) ))
Donc : ,)=;-3+i) ))
Donc : ,)=));+)\s\up 7(2)) ))
Donc : ,)=+6i-6;12) ))
Finalement : ,)=;3) )i)= (2?)
Donc, ABC est bien un triangle rectangle en A.
4. On pose =) ).
On a donc : =) )=);1+3) )=1-i
On a donc bien : =))).
5. Calcul de
Les points A et C ont pour coordonnées, respectivement, )) et )).
Donc le coefficient directeur de la droite (AC) est : a=-;-2-1) )=-
;3) )
L'équation de la droite (AC) est donc de la forme : y=-;3) )x+b
Cette droite passe par le point A donc : =-;3) )1+b
Donc : b=+;3) )=;3) )
Donc l'équation de la droite (AC) est : y=-;3) )x+;3) )
Pour y=0, on obtient : ;3) )x=;3) )
Donc : x=4
Donc le point E de la droite (AC) dont l'affixe est un nombre réel
est le point d'affixe =4)).
Problème Partie A f(x)=+ax+b-2lnx Déterminons les valeurs de a et de b tels que la courbe C d'équation
y=f(x) passe par A et que la tangente à C en A soit parallèle à l'axe
Ox.
On doit avoir :
Or f'(x)=2x+a-
On en déduit : =0)) donc : donc : ))
La fonction f cherchée est donc définie par : f(x)=-4-2lnx. Partie B
1. a) Étude de la limite de f en 0.
On a clairement : -4=-4;-2lnx=+õ) )) donc -4-2lnx=+õ)).
b) Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
On en déduit que l'axe Oy est asymptote à C.
2. a) Vérifier pour pour x>0 : f(x)=x-2). C'est évident !
b) En déduire la limite de f en +õ.
On sait que =0 et que =0.
Donc : -2)=+õ Donc f(x)=+õ)).
3. Calcul de la dérivée de f.
On peut écrire : f'(x)=2x-.
Donc : f'(x)=-1);x) )=.
4. Signe de f'(x). Tableau de variation de f.
|x |0 | |1 | | | | |
|x+1 | |+ | |+ | |+ | |
|x |0 |+ | |+ | |+ | |
f'(x) | |- |0 |+ | |+ | | | | |+õ | | | | |+õ | |f(x) | | | | | | | | | | |
|-3 | | | | | |
5. Signe de f(x) lorsque x?.
On sait que f(1)=-3. Par ailleurs f(2)=-4-2ln2=-2ln2. Donc f(2)