Bac maths S 2006 - Inde - Descartes et les Mathématiques

Bac S 2006 - Pondichéry - Inde Suites et restitution organisée de connaissances - Géométrie plane et
complexes - Géométrie dans l'espace -Probabilité et équations
différentielles. Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Ce document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_2006/bac_s_inde_2006.doc BACCALAUREAT GENERAL Session 2006
Épreuve : MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9
OBLIGATOIRE et SPECIALITE
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
réglementation en vigueur Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit
traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut
admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les
questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la
copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en
compte dans l'appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 5
pages numérotées de 1 à 5. EXERCICE 1 (4 points) Commun à tous les candidats Dix affirmations, réparties en trois thèmes et numérotées de 1.a à
3.d, sont proposées ci-dessous. Le candidat portera sur sa copie, en
regard du numéro de l'affirmation et avec le plus grand soin, la mention
VRAI ou FAUX. Chaque réponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque
réponse erronée enlève 0,1 point. Il n'est pas tenu compte de l'absence
de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à 0.
1. Pour tout réel x, ex désigne l'image de x par la fonction
exponentielle.
Affirmation 1.a Pour tous les réels a et b : = .
Affirmation 1.b Pour tous les réels a et b : ea-b = .
Affirmation 1.c La droite d'équation y = x + 1 est tangente à la
courbe représentative de la fonction exponentielle
en son point d'abscisse 1.
2. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et
soit a un élément de I.
Affirmation 2.a Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
Affirmation 2.b Si f est continue en a, alors f est dérivable en a.
Affirmation 2.c Si f est dérivable en a, alors la fonction h '
[pic] admet une limite finie en 0.
3. On considère deux suites (un) et (vn) définies sur ?.
Affirmation 3.a Si lim un = +( et si lim vn = -(, alors lim (un + vn)
= 0.
Affirmation 3.b Si (un) converge vers un réel non nul et si lim vn =
+(,
alors la suite (un ( vn) ne converge pas.
Affirmation 3.c Si (un) converge vers un réel non nul, si (vn) est
positive et si lim vn = 0, alors la suite Erreur!
Signet non défini. ne converge pas.
Affirmation 3.d Si (un) et (vn) convergent, alors la suite Erreur!
Signet non défini. converge. EXERCICE 2 (5 points) Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de
spécialité Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O, [pic], [pic]).
On prendra pour unité graphique 5 cm.
On pose z0 =2 et , pour tout entier naturel n , z n+1 = [pic]zn. On note An
le point du plan d'affixe zn. 1. Calculer z1, z2, z3, z4 et vérifier que z4 est un nombre réel.
Placer les points A0, A1, A2, A3 et A4 sur une figure. 2. Pour tout entier naturel n, on pose un =|zn|.
Justifier que la suite (un) est une suite géométrique puis établir que,
pour tout entier naturel n,
un = 2[pic]. 3. À partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque
de centre O et de rayon 0,1 ? 4. a. Établir que, pour tout entier naturel n, [pic]= i.
En déduire la nature du triangle OAnAn+1 b. Pour tout entier naturel n, on note ln la longueur de la ligne brisée
A0A1A2...An-1An
On a ainsi : ln = A0A1 + A1A2 +...+ An-1An.
Exprimer ln, en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (ln) ?
EXERCICE 2 (5 points) Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O, [pic], [pic]).
On prendra 5 cm pour unité graphique.
Soit f la transformation qui, à tout point M d'affixe z, associe le point
M' d'affixe z' définie par :
z' = [pic]z + 1.
1. Justifier que f est une similitude directe dont on précisera le centre ?
(d'affixe ?), le rapport k et l'angle ?. 2. On note A0 le point O et, pour tout entier naturel n, on pose An+1 =
f(An).
Déterminer les affixes des points A1 A2, A3 puis placer les points A0, A1,
A2 et A3. b. Pour tout entier naturel n, on pose un = ?An. Justifier que la suite
(un) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel
n,
un = [pic][pic].
c. À partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque
de centre ? et de rayon 0,1 ? 3. a. Quelle est la nature du triangle ?A0A1 ?
En déduire, pour tout entier naturel n, la nature du triangle ?AnAn+1. b. Pour tout entier naturel n, on note ln la longueur de la ligne brisée
A0A1A2...An-1An
On a ainsi : ln = A0A1 + A1A2 +...+ An-1An.
Exprimer ln, en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (ln) ?
EXERCICE 3 (4 points) Commun à tous les candidats
L'espace est muni d'un repère orthonormal (O, [pic], [pic], [pic]).
Partie A (cette partie constitue une restitution organisée de connaissances) Soit a, b, c et d des réels tels que (a, b, c) ( (0, 0, 0).
Soit P le plan d'équation ax + by + cz + d= 0.
On considère le point I de coordonnées (xI, yI, zI) et le vecteur [pic] de
coordonnées (a, b, c).
Le but de cette partie est de démontrer que la distance de I au plan P est
égale à [pic].
Soit ? la droite passant par I et orthogonale au plan P.
Déterminer, en fonction de a, b, c, xI, yI et zI, un système d'équations
paramétriques de ?.
On note H le point d'intersection de ? et P.
a. Justifier qu'il existe un réel k tel que [pic] = k[pic]
Déterminer l'expression de k en fonction de a, b, c, d, xI, yI et zI.
c. En déduire que IH =[pic]. Partie B
Le plan Q d'équation x- y+ z-11 = 0 est tangent à une sphère S de centre
le point ? de coordonnées (1, -1, 3).
Déterminer le rayon de la sphère S .
Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite ? passant par
? et orthogonale au plan Q
En déduire les coordonnées du point d'intersection de la sphère S et du
plan Q.
EXERCICE 4 (7 points) Commun à tous les candidats Les parties A et B sont indépendantes.
Un laboratoire de recherche étudie l'évolution d'une population animale qui
semble en voie de disparition.
Partie A
En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population
dont l'effectif initial est égal à mille.
Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d'individus,
est approché par une fonction f du temps t(exprimé en années à partir de
l'origine 2000). D'après le modèle d'évolution choisi, la fonction f est
dérivable, strictement positive sur [0 ;+([, et satisfait l'équation
différentielle :
(E) y' = -[pic] y(3 - lny).
1. Démontrer l'équivalence suivante : Une fonction f, dérivable,
strictement positive sur [0; +([, vérifie, pour tout t de [0; +([, f0(t) =
-[pic] f(t) [3-ln f(t)] si et seulement si la fonction g = ln (f) vérifie,
pour tout t de [0 ;+([,
g'(t) = [pic] g(t)- [pic]. 2. Donner la solution générale de l'équation différentielle :
z' = [pic]z - [pic].
3. En déduire qu'il existe un réel C tel que, pour tout t de [0 ;+([
f(t) = exp[pic]
(la notation exp désigne la fonction exponentielle naturelle x(ex). 4. La condition initiale conduit donc à considérer la fonction f définie
par :
f(t) = exp[pic]
a. Déterminer la limite de la fonction f en +(. b. Déterminer le sens de variation de f sur [0 ; +([.
Résoudre dans [0 ; +([ l'inéquation f(t) < 0, 02.
Au bout de combien d'années, selon ce modèle, la taille de l'échantillon
sera-t-elle inférieure à vingt individus ?
Partie B
En 2005, ce laboratoire de recherche met au point un test de dépistage de
la maladie responsable de cette disparition et fournit les renseignements
suivants :« La population testée comporte 50% d'animaux malades. Si un
animal est malade, le test est positif dans 99% des cas; si un animal n'est
pas malade, le test est positif dans 0,1 % des cas ». On note M l'évènement «l'animal est malade », [pic]l'évènement contraire et
T l'évènement « le test est positif ».
1. Determiner P(M), PM(T), [pic]. 2. En déduire P(T). 3. Le laboratoire estime qu'un test est fiable, si sa valeur prédictive,
c'est-à-dire la probabilité qu'un animal soit malade sachant que le test
est positif, est supérieure à 0,999. Ce test est-il fiable ?