PLAN DE COURS

PLAN DE COURS |Sigle du cours : |MATH3733 |
|Titre du cours : |Analyse réelle 1 |
|Préalable : |MATH2732, MATH3423 et MATH3473 |
|Date : |Le 10 janvier 2011 |
|Département : |Mathématiques |
| |Donald Violette |
|Professeur : | |
| Bureau : |Local B-126 |
| Téléphone : |(506) 858-4325 |
| Courrier électronique |Donald.Violette@UMoncton.ca |
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| Site |http://professeur.umoncton.ca/umcm-violette_donald|
|internet : | |
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OBJECTIFS GÉNÉRAUX DU COURS : Dans un premier temps, nous allons faire un bref rappel des
axiomes des nombres réels et nous présenterons le concept d'espace
métrique. Nous introduirons également les notions fondamentales de la
topologie de ?n qui sont très importantes pour l'étude de la continuité de
fonctions.
Dans un deuxième temps, le cours abordera des concepts de base de
l'analyse réelle dont entre autres la continuité et la continuité uniforme
de fonctions ainsi que la convergence simple et la convergence uniforme des
suites et séries de fonctions. Étant donné que plusieurs fonctions sont
définies par des suites ou des séries infinies, nous verrons donc les
conditions qui permettent d'interchanger limite et intégrale ainsi que
limite et dérivée. Nous étudierons également l'espace des fonctions
continues incluant le théorème d'approximation de Weierstrass et le
théorème de point fixe de Banach.
Ce cours permet à l'étudiante ou l'étudiant de développer certaines
qualités de l'esprit dont la capacité d'abstraction, de déduction logique,
de généralisation, d'imagination, de construction et d'induction.
CONTENU DU COURS : Chapitre 1 Le corps des réels 1. Les axiomes des nombres réels
2. Le principe des intervalles emboîtés Chapitre 2 : Espaces métriques 1 Distances et espaces métriques
2 Suites convergentes
3 Suites de Cauchy. Espaces complets
4 Limite supérieure et limite inférieure Chapitre 3: Topologie de ?n 1 Ensembles ouverts
2 L'intérieur d'un ensemble
3 Ensembles fermés
4 Points adhérents; l'adhérence d'un ensemble
5 Frontière d'un ensemble
6 Suites dans Rn
7 Compacité et le théorème de Heine-Borel
8 Connexité Chapitre 4: Applications continues 1 Continuité
2 Continuité uniforme
3 Continuité et compacité (théorème de la borne atteinte)
4 Continuité et connexité (théorème des valeurs intermédiaires) Chapitre 5: Suites et séries de fonctions; convergence uniforme 1 Convergence simple et convergence uniforme
2 Convergence uniforme et continuité
3 Convergence uniforme et intégrabilité
4 Convergence uniforme et dérivabilité
5 Séries de fonctions
6 Les critères de Cauchy et de Weierstrass
7 La convergence uniforme des séries entières Chapitre 6: Espace de fonctions continues
1 Norme
2 Espace de fonctions continues bornées
3 Le théorème d'approximation de Weierstrass
4 Théorème de point fixe de Banach (méthode des approximations
successives)
MANUEL DE COURS : Principes d'analyse mathématique (Principles of Mathematical
Analysis)
Auteur: Walter Rudin
Édition: Ediscience international
HEURES DE CONSULTATION : Mardi : 15 h 00 à 17 h 00
Mercredi et jeudi : 14 h 00 à 16 h 00.
ÉVALUATIONS : 1) Travaux (20%)
2) Examen intrasemestriel (35%) : le jeudi 3 mars 2010
Durée: 3 heures
3) Examen final récapitulatif (45%) : durant la session d'examens (11
au 21 avril 2011)
Durée: 4 heures
BARÈME :
A+: 94 à 100 B : 76 à 79 C- : 63 à 65
A : 88 à 93 B- : 73 à 75 D+: 59
à 62
A-: 85 à 87 C+: 70 à 72 D : 55
à 58
B+: 80 à 84 C : 66 à 69 E : 0 à 54
MÉTHODE D'ENSEIGNEMENT PROPOSÉE : Le cours sera composé d'exposés de la part du professeur et le cas
échéant de présentations faites par les étudiants. On s'attend à ce que
l'étudiante ou l'étudiant se tienne à jour et que son travail soit continu
et régulier. Elle ou il devra accorder beaucoup de soin aux notes prises en
classe. BON SEMESTRE!