Bac maths S 2010 - National

Bac S - National - 2010 Equation différentielle - Restitution organisée de connaissances : suites -
QCM Probabilité - Complexes
BACCALAUREAT GENERAL Session 2010
Epreuve: MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9 OBLIGATOIRE et SPECIALITE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées,
conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter
tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment
donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de
l'indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de
recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est
rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des
raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des
copies.
Le sujet comporte 5 pages numérotées de 2 à 6 et une ou deux annexes à
rendre avec la copie. EXERCICE 1 (6 points)
Commun à tous les candidats Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A : On considère l'équation différentielle (E) : y' + y = e-x.
1. Montrer que la fonction u définie sur l'ensemble des nombres réels R par
u(x) = xe-x est une solution de l'équation différentielle (E). 2. On considère l'équation différentielle (E') : y' + y = 0. Résoudre
l'équation différentielle (E'). 3. Soit v une fonction définie et dérivable sur R. Montrer que la fonction
v est une solution de l'équation différentielle (E) si et seulement si la
fonction v -u est solution de l'équation différentielle (E'). 4. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E). 5. Déterminer l'unique solution g de l'équation différentielle (E) telle
que g(0) = 2. Partie B : On considère la fonction fk définie sur l'ensemble R des nombres réels par
fk(x) = (x +k)e-x où k est un nombre réel donné.
On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère
orthogonal.
1. Montrer que la fonction fk admet un maximum en x = 1-k. 2. On note Mk le point de la courbe Ck d'abscisse 1-k. Montrer que le point
Mk appartient à la courbe ? d'équation y = e-x. 3. Sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie), le repère
est orthogonal mais l'unité sur l'axe des abscisses et sur l'axe des
ordonnées ainsi que les noms des courbes n'apparaissent pas. Sur ce
graphique, on a tracé deux courbes :
. .la courbe ? d'équation y = e-x;
. .la courbe Ck d'équation y = (x +k)e-x pour un certain nombre réel k
donné. a. Identifier les courbes et les nommer sur l'annexe 1 (à rendre avec la
copie). b. En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel
k correspondante ainsi que l'unité graphique sur chacun des axes. 4. À l'aide d'une intégration par parties, calculer [pic]. Donner une
interprétation graphique de cette intégrale.
EXERCICE 2 (5 points)
Commun à tous les candidats 1. Restitution organisée de connaissances
Démontrer à l'aide de la définition et des deux propriétés ci-dessous que
si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes
et elles ont la même limite. Définition : deux suites sont adjacentes lorsque l'une est croissante,
l'autre est décroissante et la différence des deux converge vers
0.
Propriété 1 : si deux suites (un) et (vn) sont adjacentes avec (un)
croissante et (vn) décroissante alors pour tout entier naturel n,
vn >un.
Propriété 2 : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite
décroissante et minorée converge. Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète,
ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans
l'évaluation. 2. Dans les cas suivants, les suites (un) et (vn) ont-elles la même limite
? Sont-elles adjacentes ?
Justifier les réponses. a. un = 1-10-n et vn = 1+10-n ; b. un = ln(n +1) et vn = ln(n +1) + [pic] ; c. un = 1 - [pic] et vn = 1+ [pic] . 3. On considère un nombre réel a positif et les suites (un) et (vn)
définies pour tout nombre entier naturel n non nul par : un = 1 - [pic] et
vn = [pic].
Existe-t-il une valeur de a telle que les suites soient adjacentes ?
EXERCICE 3 (4 points)
Commun à tous les candidats Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.
Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la
question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la
réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou
une absence de réponse.
1. Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 7 sont blanches
et 3 sont noires. On tire simultanément 3 boules de l'urne. La probabilité
de tirer 2 boules blanches et 1 boule noire est égale à :
|[pic] |[pic] |[pic] | 2. De la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans
l'urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs avec remise. La
probabilité d'avoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches est égale à
:
|[pic] |[pic] |[pic] | 3. De la même urne, on tire une seule boule. Si elle est blanche, on lance
un dé cubique (dont les faces sont numérotées de 1 à 6). Si la boule est
noire, on lance un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de 1 à
4). On suppose les dés bien équilibrés. Le joueur gagne s'il obtient le
numéro 1.
Sachant que le joueur a gagné, la probabilité qu'il ait tiré une boule
blanche est égale à :
|[pic] |[pic] |[pic] | 4. On note X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de
paramètre ?¸. (? étant un nombre réel strictement positif). La probabilité
de l'évènement [1 ? X ? 3] est égale à :
|e-?- e-3? |e-3?- e-? |[pic] |
EXERCICE 4 (5 points)
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct (O, [pic],
[pic]), on considère le point A d'affixe 2 et le cercle C de centre O
passant par A.
Dans tout l'exercice on note ? le nombre complexe ? = 1+i[pic] et [pic] le
nombre complexe conjugué du nombre complexe ?. 1. a. Démontrer que ?2 -4 ? = 2[pic] - 8.
b. Démontrer que les points B et C d'affixes respectives ? et [pic]
appartiennent au cercle C. 2. Soit D un point du cercle C d'affixe 2ei? où ? est un nombre réel de
l'intervalle ]-? ; ?].
a. Construire sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le
point E image du point D par la rotation r de centre O et d'angle [pic].
b. Justifier que le point E a pour affixe zE = ? ei?. 3. Soient F et G les milieux respectifs des segments [BD] et [CE].
a. Justifier que le point F a pour affixe zF = [pic] + ei?.
b. On admet que le point G a pour affixe zG = [pic].
Démontrer que [pic] = [pic]. On pourra utiliser la question 1.a.
En déduire que le triangle AFG est équilatéral. 4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou
d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on conjecture qu'il existe
une position du point D, défini à la question 2, pour laquelle la longueur
du coté AF du triangle AFG est minimale.
On admet que AF2 = 4 - 3cos ? + [pic]sin ?.
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [- ?; + ?] par f (x) =
4-3cos x +[pic]sin x.
Le tableau ci-dessous donne les variations de la fonction f sur
l'intervalle [-?; + ?]. Compléter ce tableau de variations. Permet-il de
valider la conjecture ? Justifier.
[pic] EXERCICE 4 (5 points)
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité Dans tout l'exercice, direct (O, [pic], [pic]) est un repère orthonormal
direct du plan complexe (unité graphique : 4 cm).
On désigne par A le point d'affixe zA = 1. 1. On considère la transformation T du plan qui, à tout point M d'affixe z,
associe le point d'affixe
-[pic] +2.
a. Déterminer les images respectives par la transformation T du point A et
du point ­ d'affixe
1+i[pic].
b. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la
transformation T.
c. Déterminer l'image par la transformation T du cercle C de centre O et de
rayon 1. 2. C' désigne le cercle de centre O' d'affixe 2 et de rayon 1.
a. Construire le point A' appartenant au cercle C' tel que :[pic] = [pic]
[modulo 2?].
b. À tout point M du cercle C d'affixe z, on associe le point M' du cercle
C' d'affixe z' tel que :
[pic] = [pic] [modulo 2?].
Déterminer le module et un argument de [pic]. En déduire que z' = [pic]z
+2.
c. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la transformation
r qui à tout point M du plan d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel
que z' = [pic] z +2. 3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou
d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
À tout point M du plan, on associe le point M1 milieu du segment [MM'].
Quel est le lieu géométrique du point M1 lorsque M décrit le cercle C ? ANNEXE 1 (Exercice 1)
(à rendre avec la copie) [pic]
ANNEXE 2 (Exercice 2)
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité (à rendre avec la copie)