Trajectoire d'un projectile dans l'air, force en kv² - Académie de ...

Objectifs :
V utiliser les outils technologiques : calcul formel, tableur,
V faire travailler les élèves en groupes,
V faire des recherches sur l'internet, en histoire des mathématiques et
sur le sujet (en commençant par une recherche des mots clés
balistique, balistique extérieure, projectile entre autre),
V appliquer les programmes actuels : méthode d'Euler,
V tracer des courbes en mode paramétrique. Sommaire : I. Un petit point de vue historique : 3
624 à 548 avant J.C. Thales de Milet : 3
570 à 500 avant J.C. Pythagore de Samos : 4
408-355 avant J.C. Eudoxe de Cnide : 4
384-322 avant J.C. Aristote : 4
310 à 230 avant J.C. Aristarque de Samos : 5
Fin du IVe siècle Christianisation de l'Empire romain : 5
VIe puis XIIIe siècle, invention de la poudre en Chine, transport en
Europe : 5
1300 environ, invention des armes à feu : 5
1320-1382 Nicole (ou Nicolas) Oresme : 6
1452-1519 Léonard de Vinci : 7
1537 Niccolo Fontana dit Tartaglia (1499-1557) : 7
1540-1603 François Viète : 8
1583 Garcia de Palacios : 8
1586 Louis Collado : 8
1590 Thomas Harriot (1560-1621) : 8
1602 Galilée ou Galileo Galilei (1564-1642) : 9
1588-1648 Marin Mersenne : 9
1596-1650 René Descartes : 9
1598-1647 Bonaventura Cavalieri : 9
1610 Diego Ufano : 10
1608-1647 Evangelista Torricelli : 10
1616-1703 John Wallis : 11
1643-1727 Isaac Newton : 11
1646-1716 Gottfried Wilhelm von Leibniz : 11
1685 François Blondel : 12
1667-1748 Jean Bernoulli : 13
1707-1783 Leonhard Euler : 13
1752-1833 Adrien-Marie Legendre : 14
1781-1840 Siméon-Denis Poisson : 14
1873 (capitaine) Jouffret : 14
II. Résolution du problème dans le vide (Torricelli) : 16
Horizontalement : 16
1. À la main : 16
2. Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et
intégrales : 16
3. Utilisation d'une « boite noire », résolution d'équations
différentielles par calcul formel : 17
Verticalement : 17
1. À la main : 17
2. Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et
intégrales : 17
3. Utilisation d'une « boite noire », résolution d'équations
différentielles par calcul formel : 18
4. Écriture de y en fonction de x : 18
5. Application numérique : (calcul formel) 18
6. La représentation graphique : 19
III. Influence de l'air, force proportionnelle à la vitesse : 20
Horizontalement : 21
1. À la main : 21
2. Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et
intégrales : 22
3. utilisation d'une « boite noire », résolution d'équations
différentielles par calcul formel : 23
Verticalement : 23
1. À la main : 23
2. Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et
intégrales : 24
3. Utilisation d'une « boite noire », résolution d'équations
différentielles par calcul formel : 25
4. Écriture de y en fonction de x : 25
5. Application numérique : (calcul formel) 25
6. La représentation graphique : 26
IV. Influence de l'air, force proportionnelle au carré de la vitesse,
Cas d'un tir vertical : 27
A. La montée : 27
1. À la main : 27
2. Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et
intégrales : 30
3. Application numérique : 31
4. Utilisation d'une « boite noire », résolution d'équations
différentielles par calcul formel : 31
5. La représentation graphique : 32
B. La descente : 33
1. À la main : 33
2. Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et
intégrales : 35
3. Application numérique : 37
4. Utilisation d'une « boite noire », résolution d'équations
différentielles par calcul formel : 37
5. La représentation graphique : 39
V. Influence de l'air, force proportionnelle au carré de la vitesse,
résolution par la méthode d'Euler : 39
Avec le tableur de la calculatrice ou du logiciel TI_Nspire : 40
Avec un tableur connu : 41
VI. Influence de l'air, force proportionnelle au carré de la vitesse,
résolution du cas général : 42
Horizontalement : 42
1. À la main : 42
2. Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et
intégrales : 43
3. utilisation d'une « boite noire », résolution d'équations
différentielles par calcul formel : 43
Verticalement : 44
1. À la main : 44
2. Avec un logiciel de calcul formel, recherche de primitives et
intégrales : 45
3. Application numérique : 46
4. Utilisation d'une « boite noire », résolution d'équations
différentielles par calcul formel : 46
5. Écriture de y en fonction de x : 47
6. La représentation graphique : 47
VII. Traitement d'une erreur intéressante et surprenante : 48
Petite bibliographie : 50
Calcul d'une flèche : 51
P.S. : 53 Préambule important et nécessaire : Aucune formule mathématique ne permet de décrire « exactement » la
trajectoire d'un projectile sortant de la bouche d'un canon, d'un fusil,
d'une carabine, d'une arme de poing (pistolet, révolver).
Pour tenter d'en donner une « bonne approximation » (qui dépend de ce que
l'on recherche !), chacun choisit un modèle.
COX, statisticien reconnu disait « tous les modèles sont faux, certains
peuvent rendre service ».
Quels que soient les calculs effectués par chacun, ce ne seront que des
approximations. |[pic] |Dans les conditions qui nous |
| |intéressent (mes conditions : tir au |
| |revolver à poudre noire), il est |
| |généralement admis qu'une assez bonne|
| |description de la trajectoire est |
| |réalisée en prenant une résistance à |
| |la pénétration de l'air |
| |proportionnelle au carré de la |
| |vitesse du projectile. |
| |J'ai choisi de décomposer le |
| |mouvement, la vitesse, sur les axes |
| |horizontal et vertical, selon UN |
| |modèle : la projection sur chacun des|
| |axes de la résistance due à la |
| |pénétration de l'air par le |
| |projectile est[pic] sur [Ox) et |
[pic] sur [Oy) où v0 est la vitesse initiale du projectile, et( l'angle
entre l'horizontale et l'axe de tir initial.
Les résultats sont « cohérents » avec les observations sur le terrain. En classe de terminale il est possible de déterminer avec un peu de
physique et de mathématique les équations du mouvement d'un projectile, sur
terre, « dans le vide ». Ce cas n'ayant aucune commune mesure avec la
réalité, « on reste sur sa faim » pour toute association de l'utilité de
faire des maths et de la physique pour comprendre les phénomènes du monde
qui nous entoure.
L'utilisation, raisonnée et raisonnable..., d'un logiciel de calcul formel,
qu'il soit sur ordinateur ou implémenté sur calculatrice, permet de montrer
que l'on peut trouver des résultats utiles issus de formules et calculs au
delà des programmes de la classe en cours, qu'en respectant une méthode
scientifique il est possible de dépasser ses savoirs et, qu'il reste encore
bien du chemin à parcourir pour arriver à être capable de calculer toutes
ces formules fort intéressantes « à la main » sans outil informatique.
Poser le problème à partir de points de vues historiques offre l'intérêt
supplémentaire de motiver les élèves par une recherche sur internet. |[pic] |Dans les films où policiers et truands échanges des |
| |nombreux coups de feux, les lois de la physique semblent|
| |différentes de celles de la réalité. C'est du |
| |cinéma... ! (je déteste, ce genre d'image, voir tirer |
| |avec une arme tenue à 90° de sa position normale). C'est|
| |une des motivations à ce sujet. |
I. Un petit point de vue historique : On remarquera qu'il est difficile d'essayer de faire de l'histoire des
maths. L'accès aux documents est réservé à ceux qui le peuvent, pour le
reste, l'information sur le net dépend beaucoup des convictions de ceux qui
écrivent, d'après celui qui à écrit en ayant lu ce que quelqu'un d'autre à
écrit, qui n'a pas forcément eu accès aux documents existants.
On peut trouver entre autre sur le site galica, des numérisations de
livres, livrets, fascicules souvent intéressants. Ils n'ont pas tout ! Par
exemple j'ai trouvé une bonne partie des documents produits par Adrien
Marie Legendre. Sauf « Recherches sur la trajectoire des projectiles dans
les milieux résistants », 1782 ni « Dissertation sur la question de
balistique proposée par l'Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de
Prusse », Berlin, 1782 alors que la référence en est faite dans plusieurs
documents. Euler à écrit un ouvrage intitulé « artillerie ». Je ne l'ai pas
trouvé non plus (j'en ai une douzaine de pages). Il était une fois, il y a très longtemps... je ne sais pas et ils n'ont pas
laissé de quoi le savoir. Pas de papier, livre, revue, CD ou DVD...
624 à 548 avant J.C. Thales de Milet : |[pic] | |
| |Astronome, commerçant, ingénieur et philosophe, |
| |considéré comme le père de la géométrie déductive |
| |Grecque. Il affirme la sphéricité de la terre, et |
| |l'inclinaison de l'écliptique : l'orbite apparente du |
|