TP 4: EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES

TP n°3 AGREGATION 2002:
PREMIERES APPICATIONS DE SCILAB (Partie I) L'objectif de cette série de trois T.P. est de se familiariser avec
l'utilisation de Scilab comme outil de simulation numérique dans différents
domaines de l'analyse numérique ou des probabilités. Dans cette première
partie, on s'intéresse aux problèmes de résolution approchée d'équations
non linéaires et à celui de la résolution approchée d'équations
différentielles ordinaires. La notion de conditionnement et les différentes
erreurs commises dans une simulation seront également illustrées. Pour chacun de ces deux problèmes, Scilab met à la disposition de
l'utilisateur deux instructions (en l'occurrence fsolve et ode) permettant
de résoudre la plupart d'entre eux. Il est cependant également possible (et
parfois préférable dans le contexte de l'agrégation) de reconstruire toute
méthode de résolution approchée classique (Newton, sécante, dichotomie,
Euler, Runge Kutta etc...). En préambule, il est demandé de se reporter à l'aide de ligne de
fsolve et de ode pour assimiler leur syntaxe (à noter que parmi les
arguments de ces deux instructions se trouve une fonction). EXERCICE 1: Proposez sur l'exemple simple de la recherche des racines du
polynôme P(x)=x3-x sur R un programme permettant d'illustrer les
principales caractéristiques des méthodes de Newton et de la sécante
(initialisation, vitesse de convergence). EXERCICE 2: Proposez un programme permettant d'illustrer simplement (sur un
problème de Cauchy linéaire d'ordre 1 par exemple) la notion de
conditionnement et les différents type d'erreur commises lors de la
résolution d'un problème de Cauchy par les méthodes d'Euler explicites ou
implicites. EXERCICE 3: On cherche à résoudre sur R+ l'équation de Bessel d'ordre 0
(variable: r, fonction: J0) : r J0''+ J0'+r J0=0 avec les conditions
initiales J0 (0)=1 et J0'(0)=0.
Comparez la précision des méthodes d'Euler, (et éventuellement de Runge
Kutta d'ordre 2 et 4) avec la solution donnée part l'instruction ode et la
fonction de Bessel tabulée par Scilab, besselj.
Rechercher par une méthode de votre choix les zéros r0