Modèle mathématique. - Math93

Régionnement du plan.
Sommaire : Demi-plan, système d'inéquations. Pré requis : Droite d'équation ax + by = c. Remarque : Dans tout ce qui suit, on se place dans le repère . 1. Demi-plan La droite (d) d'équation ax + by = c partage le plan en deux demi-plans :
. Un demi-plan fermé P1 contenant la droite (d), qui est l'ensemble des
points M(x ;y) tels que : ax + by = c ( 0 ;
. Un demi-plan fermé P2 contenant la droite (d), qui est l'ensemble des
points M(x ;y) tels que : ax + by = c ( 0 ;
La droite (d) est appelée droite frontière des demi-plans P1 et P2. Si les inégalités sont strictes (< ou >), les demi-plans ne contiennent pas
la droite (d). Pour distinguer les deux demi-plans, on calcule la valeur de ax + by pour
les coordonnées d'un point qui n'est pas sur la droite (d), l'origine
O(0 ;0) du repère par exemple lorsque c'est possible. On regarde ensuite si
cette valeur vérifie bien l'inéquation du demi-plan. Exemple : On veut représenter le demi-plan P1 d'équation : - 3x + y ( 1.
1. On représente la droite (d) d'équation - 3x + y = 1.
2. On sait d'après le cours que le demi-plan P1 est l'un des demi-plans
délimités par la droite (d) et la contenant car l'inégalité est large.
3. On effectue alors un test avec un point n'appartenant pas à la droite
(d), par exemple O(0 ;0).
Test : -3 ( 0 + 0 = 0 ( 1 donc le point O(0 ;0) appartient au demi-
plan P1.
4. Le demi-plan P1 est donc celui délimité par la droite (d), contenant
la droite (d) car l'inégalité est large, et contenant le point
O(0 ;0).
5. On représente le demi-plan en hachurant la partie qui n'est pas
solution et en le précisant sur la copie.
[pic] 2. Systèmes d'inéquations Résoudre un système de deux (ou plusieurs) inéquations à deux inconnues x
et y signifie déterminer l'ensemble des points M(x ;y) dont les coordonnées
vérifient simultanément toutes les inéquations du système.
Dans la pratique, après avoir déterminé les demi-plans définis par chaque
inéquation du système, la partie solution est la partie qui reste non
hachurée. Exemple : On veut représenter la partie du plan définie par le système :
:
1. On représente chacune des parties de plan définies par les
inéquations.
. La 1ère inégalité est double, 0 ( x ( 4 signifie que ,
ce qui représente la bande entre les droites d'équation x = 0 et
x = 4.
. y ( 0 est l'équation du demi-plan supérieur délimité par la
droite (Ox).
. - 3x + y ( 1 est l'équation du demi-plan P1 de l'exemple
précédent.
. x + y ( 4 est l'équation du demi-plan P2, délimité par la
droite (d') : x + y = 4, la contenant, et contenant le point
O(0 ;0).
2. La partie non hachurée est alors la partie solution. [pic]