Histoire et épistémologie des mathématiques

Master 1 - UJF - Université Grenoble 1
Histoire et épistémologie des mathématiques Articles d'épistémologie et de didactique des mathématiques Arsac G. (1995) Vérité des axiomes et des théorèmes en géométrie,
Vérification et démonstration, Petit x n° 37, p. 5-33.
Résumé :
Les axiomes sont des énoncés admis comme vrais, alors que les théorèmes
sont des énoncés démontrés à partir d'autres résultats. L'un des grands
problèmes en géométrie est de savoir comment déterminer les axiomes.
L'enseignement de la géométrie au collège se base sur l'intuition acquise
en classes de 6ème et 5ème et sur l'usage expérimental des instruments pour
aboutir ensuite à un raisonnement plus rigoureux ; il s'agit d'apprendre
aux élèves à acquérir certains réflexes comme "Quelles hypothèses a-t-on
?", "De quels outils dispose-t-on ?", "Que veut-on démontrer ?".
D'où le problème pour l'enseignant de savoir quelles propriétés faire
admettre comme vraies et de les faire accepter comme tel par les élèves.
S'en suivent des expériences sur l'inégalité triangulaire : les élèves ont
tendance à utiliser le dessin comme une preuve ; même lorsqu'ils ont réussi
à mettre en évidence une condition nécessaire d'existence du triangle. On
constate que les élèves ont du mal à tracer un triangle aplati.
Le but de ces expériences est de faire accepter la règle suivante : "en
géométrie, un dessin ne suffit pas à conclure. Barbin E. (2001) Qu'est-ce que faire de la géométrie ? Repères IREM n° 43,
pp. 59-83
Résumé :
Le point de vue de l'article est celui de "l'histoire épistémologique", lue
en termes non pas de tradition et de développement, mais de ruptures et de
différences. Les "actes de pensée" géométriques ne sont pas les mêmes à
différentes époques, or l'élève doit passer sans vraiment de transition de
figures dessinées à une démonstration logique sur des figures représentant
des objets idéaux.
En les comparant aux méthodes pratiquées dans l'enseignement, l'auteur
analyse des démonstrations du théorème de Pythagore chez Euclide et chez
Liu Hui, montre comment la méthode de Descartes bouleverse la manière dont
le géomètre regarde les figures, montre les apports de Bernard Lamy et
d'Antoine Arnauld, puis les méthodes de Monge, Poncelet et Hadamard.
En conclusion le point de vue est de privilégier "l'acte de pensée" , ce
qui va à l'encontre d'une distinction entre un savoir et des savoir-faire,
et disqualifie la entre un savoir savant et un savoir enseigné. Celui qui
résout un problème mathématique sait et sait faire, l'acte de pensée est le
même qu'il soit savant ou débutant. Cartier L. (2008) A propos du théorème d'Euler et des parcours eulériens
dans les graphe, Petit x n° 75, p. 27-53.
Résumé :
Cet article traite un problème classique de théorie des graphes : la
recherche de parcours eulériens. Cette question peut sembler très connue,
les"ponts de Königsberg" par exemple, sont présents autant dans
l'enseignement qu'en vulgarisation des mathématiques. Ils semblent contenir
une modélisation sous forme de graphe qui va de soi, pourtant deux types de
graphes apparaissent régulièrement dans les classes. Des éléments de preuve
l'accompagnent souvent, pouvant faire croire que la résolution du problème
est simple. Or, le travail de preuve que l'on peut entreprendre avec un tel
sujet n'est pas trivial et un travail mathématique conséquent peut avoir
lieu à l'occasion de sa présentation en classe. L'auteur montre des
éléments sur l'article fondateur d'Euler, en particulier le fait qu'Euler
n'a pas prouvé le théorème qu'il a proposé, des pistes pour le présenter en
classe, les difficultés qui peuvent alors émerger et les mathématiques
qu'il permet d'aborder, que ce soit en option de Terminale ES ou dans
d'autres classes. *Chevallard Y. (1991) Autour de l'enseignement de la géométrie, Petit x n°
27, 1991, p. 41-76.
Résumé :
Ce texte correspond à un dossier destiné à des professeurs de collège
réunis dans le cadre d'un stage de formation sur la mise en place des
nouveaux programmes de mathématiques en 1er cycle. L'article est constitué
de deux parties :
- "La géométrie et son enseignement comme problèmes" amorce et développe
des questions fondamentales
- "La notion de construction géométrique comme problème", et selon les
auteurs, se donne comme "une illustration du phénomène .... de
l'intrication du didactique et du mathématique." Dias T., Durand-Guerier V. (2005) Expérimenter pour apprendre en
mathématiques. Repères 60. pp 61-78.
Résumé :
Dans cet article, les auteurs soutiennent l'intérêt et la possibilité de
concevoir des situations d'apprentissage mettant en ?uvre le recours à
l'expérience dans la perspective de favoriser l'accès aux connaissances
mathématiques pour le plus grand nombre d'apprenants. Dans l'introduction,
ils rappelent que la question de la dimension expérimentale et ses liens
avec la possibilité d'une appropriation des notions mathématiques par le
plus grand nombre d'élèves n'est pas nouvelle dans l'enseignement français.
La possibilité d'aborder cette question en géométrie des solides s'appuie
sur leur expérience de formateurs pour les professeurs du premier degré, où
le travail de réconciliation avec les mathématiques s'avère
particulièrement crucial. Le choix des solides de Platon est motivé par
l'intérêt mathématique du problème de leur existence et de leur nombre,
auquel s'ajoute leur valeur culturelle et symbolique. Une brève étude
historique et épistémologique des polyèdres réguliers convexes nourrit leur
analyse a priori et leur permet de fonder leur proposition d'une situation
d'apprentissage en géométrie des solides faisant une large place à la
démarche expérimentale. La situation analysée est proposée suivant les
modalités du problème ouvert dans le cadre d'un stage de formation continue
pour des enseignants spécialisés du premier degré ; elle permet de
s'interroger sur la possibilité de réaliser un polyèdre régulier convexe
avec trois hexagones réguliers, possibilité qui se heurte dans le monde
sensible aux contraintes du réel et est liée à la possibilité de paver le
plan avec des hexagones réguliers. L'analyse d'un débat provenant
d'extraits d'un corpus prélevé dans le cadre de cette session de formation
d'enseignants spécialisés permet d'attester de ce va-et-vient entre les
objets sensibles et les objets théoriques qui caractérise la démarche
expérimentale. *Gascon J. (1995) Un nouveau modèle de l'algèbre élémentaire comme
alternative à l'arithmétique généralisée. Petit x n°37, p. 43-63.
Résumé :
L'auteur de cet article présente ce qu'il appelle le "modèle spécifique"
dont l'objectif principal est de fournir une explication plus complète des
phénomènes didactiques qui ont déjà été mis en évidence.
Voici le plan :
- Le besoin d'expliciter le modèle épistémologique utilisé
- L'interprétation de l'algèbre élémentaire comme arithmétique généralisée
- Vers un nouveau modèle de l'algèbre élémentaire
- Ebauche d'un nouveau modèle de l'algèbre élémentaire
- Indices de la capacité explicative du nouveau modèle
Gilbert T. (1993) L'enseignement de la continuité et de la dérivabilité en
analyse non-standard. Repères 13. pp 89-110.
Résumé
Cet article pose d'une part le problème de savoir dans quelle mesure
l'apprentissage de l'analyse peut être facilité par celui de l'analyse non
standard, d'autre part de savoir si l'enseignement de l'analyse non
standard peut être abordé au lycée à travers deux directions : la
continuité et la dérivabilité. Henry M. (2009) Emergence de la probabilité et enseignement : définition
classique, approche fréquentiste et modélisation. Repères IREM n° 75. pp 76-
89
Résumé :
L'introduction à la rentrée 2008 de la notion de probabilité en classe de
troisième par une double approche classique et fréquentiste comme
initiation à l'aléatoire, était attendue depuis des années. Cet
enseignement permettra des développements plus approfondis de celui de la
statistique au lycée, afin de prendre en compte une pratique sociale
devenue omniprésente.
Un des enjeux actuels de la formation des professeurs de collège est de
faire appréhender cette dualité de la probabilité, entre valeur issue d'un
calcul a priori quand les conditions le permettent et estimation a
posteriori par l'observation expérimentale des fréquences, quand celle-ci
est possible. La clarification de ce lien passe par une compréhension en
profondeur de la loi des grands nombres sous sa forme élémentaire du
théorème de Bernoulli.
Dans une première partie, l'auteur apporte quelques éclairages historiques
montrant que l'usage opératoire de la notion de probabilité au 17ème
siècle, suite à la correspondance de Pascal et Fermat, a précédé les
premières définitions du 18ème par De Moivre, D'Alembert et Condorcet,
avant que son introduction dans le champ des objets mathématiques soit
institutionnalisée par Laplace au début du 19ème siècle. Historiquement,
comme l'avait déjà indiqué Jacques Bernoulli dans Ars Conjectandi publié en
1713, une telle définition s'est heurtée à la dualité intrinsèque de cette
notion, avant qu'une synthèse puisse voir le jour dans le cadre de la
modélisation des phénomènes aléatoires, au sein de la théorie mathématique
fondée par Andrei Kolmogorov en 1933 et développée au cours du 20ème
siècle.
Dans la deuxième partie, l'auteur fait un examen critique des tentatives de
définitions "fréquentistes", en soulignant les questions de nature
épistémologiques qu'elles posent ainsi que les difficultés didactiques
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