TS Probabilités conditionnelles

T S Probabilités conditionnelles Exercice 1 :
Dans un lycée qui ne reçoit pas d'interne, la répartition des 895 élèves se
fait de la façon suivante:
|Niveau |Seconde |Première |Terminale|Total |
|Externes |50 | |85 |195 |
|Demi-pensionna|285 |220 | | |
|ires | | | | |
|Total | | |280 | |
1) Compléter le tableau ci-dessus.
2) On rencontre un élève du lycée au hasard. On note :
E l'événement « l'élève rencontré est externe » ;
S l'événement « l'élève rencontré est en seconde »
T l'événement « l'élève rencontré est en terminale ».
En supposant que tous les élèves ont la même probabilité d'être
rencontrés, calculer les probabilités suivantes (les résultats numériques
seront donnés sous forme décimale, arrondie à 10-2 ) :
a) P(E[pic]S).
b) P(E[pic]T).
3) a) Les événements E et T sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
b) Citer deux événements incompatibles.
4) Calculer les probabilités conditionnelles suivantes (les résultats
numériques seront donnés sous forme décimale, arrondie au centième)
a) [pic].
b) [pic].
Exercice 2 :
Une enquête a montré que:
. avant de passer l'épreuve théorique du permis de conduire (c'est-à-dire
le code), 75 % des candidats ont travaillé très sérieusement cette
épreuve ;
. lorsqu'un candidat a travaillé très sérieusement, il obtient le code dans
80 % des cas;
. lorsqu'un candidat n'a pas beaucoup travaillé, il n'obtient pas le code
dans 70 % des cas.
On interroge au hasard un candidat qui vient de passer l'épreuve théorique
(on rappelle que les résultats sont connus dès la fin de l'épreuve). On
note T l'événement : « Le candidat a travaillé très sérieusement » et R
l'événement : « Le candidat a réussi le code ».
Les probabilités seront données sous forme décimale, arrondies
éventuellement au millième.
1) Traduire les données à l'aide d'un arbre pondéré.
2) a) Calculer la probabilité de l'événement « Le candidat a
travaillé très sérieusement et il a obtenu le code ».
b) Montrer que la probabilité p(R) qu'un candidat réussisse à l'épreuve
théorique est égale à 0,675.
3) Le candidat interrogé vient d'échouer. Quelle est la probabilité qu'il
ait travaillé très sérieusement ? Exercice 3 :
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de questions
indépendantes.
Pour chacune d'elles, une seule des quatre propositions est exacte. 1) Soient A et B deux événements indépendants d'un même univers ? tels que
p(A)= 0,3 et p([pic]) = 0,65. La probabilité de l'évènement B est :
a) 0,5 b) 0,35 c) 0,46 d) 0,7
2) Un magasin de matériel informatique vend deux modèles d'ordinateur au
même prix et de marques M1 et M2. Les deux ordinateurs ont les mêmes
caractéristiques et sont proposés en deux couleurs : noir et blanc.
D'après une étude sur les ventes de ces deux modèles, 70% des acheteurs
ont choisi l'ordinateur M1 et, parmi eux, 60% ont préféré la couleur
noire. Par ailleurs, 20% des clients ayant acheté un ordinateur M2 l'ont
choisi de couleur blanche.
On utilise la liste des clients ayant acheté l'un ou l'autre des
ordinateurs précédemment cités et on choisit un client au hasard.
a. La probabilité qu'un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur M2
de couleur noire est :
a) [pic] b) [pic] c) [pic] d) [pic]
b. La probabilité qu'un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur
de couleur noire est :
a) [pic] b) [pic] c) [pic] d) [pic]
c. Le client a choisi un ordinateur de couleur noire. La probabilité
qu'il soit de marque M2 est :
a) [pic] b) [pic] c) [pic] d) [pic]
Exercice 4 :
Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives.
On admet que :
. la probabilité qu'il gagne la première partie est de 0,1 ;
. s'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale
à 0,8 ;
. s'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à
0,6.
On note, pour tout entier naturel n non nul :
. Gn l'évènement « le joueur gagne la n-ième partie » ;
. pn la probabilité de l'évènement Gn
On a donc p1 = 0,1.
1) Montrer que p2 = 0,62. On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
2) Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il
ait perdu la première.
3) Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur
les trois premières parties.
4) Montrer que pour tout entier naturel n non nul, pn+1=[pic].
5) En montrant que le suite [pic] est géométrique, démontrer que pn
=[pic].
6) Déterminer la limite de la suite (pn) quand n tend vers +?.