Probabilités

vocabulaire |Ci-contre figure le tableau de | | |Section | |
|distribution des fiches d'élèves | | | | |
|d'un lycée susceptibles de | | | | |
|présenter une épreuve au | | | | |
|baccalauréat, selon deux critères | | | | |
|le niveau et la section. | | | | |
| | | |ES |S |L |Total |
| |Nivea|Premièr|70 |80 |40 |190 |
| |u |e | | | | |
| | |Termina|80 |90 |40 |210 |
| | |le | | | | |
| | |Total |150 |170 |80 |400 |
- On définit comme épreuve ou expérience aléatoire le fait de tirer une
fiche au hasard.
- Le résultat de l'épreuve est l'ensemble des éléments que l'on peut
observer sur cette fiche.
- L'obtention d'une ou plusieurs caractéristiques lors de l'examen des
résultats est la réalisation d'un évènement. Exemple : on note T est
l'évènement «Est élève de terminale »
- Des évènements peuvent être liés par «la relation logique et notée : ( »
ou «la relation logique ou notée : ( ».
A ( B désigne l'événement ( A et B ) qui est réalisé lorsque à la fois A
et B sont réalisés.
A ( B désigne l'événement ( A ou B ) qui est réalisé lorsque l'un au
moins des deux événements est réalisé.
Exemple :
On note : T l'évènement «Est élève de terminale ».
ES l'évènement «Est élève de ES ».
L'évènement T(ES est l'évènement «Est en terminale ou en section
ES».
L'évènement T(Es est l'évènement «Est en terminale ES». Probabilité à partir des données du tableau précédent et en considérant que le tirage
au hasard ne permet pas de favoriser une fiche par rapport à une autre, on
associe à un évènement E un nombre réel compris entre 0 et 1, appelé
probabilité de l'évènement E.
- Par exemple à l'évènement T : «Est élève de terminale » il semble
naturel d'associer le nombre [pic]. Ce nombre nous donne une indication
sur la possibilité de réalisation de l'évènement T
- La probabilité de l'évènement impossible est nulle : Si on note I
l'évènement : «Est élève en S et ES» p (I) = 0.
- La probabilité de l'évènement certain est égale à 1 : la probabilité de
l'évènement U: «Est un élève» est p(U) = 1.
- La probabilité de l'évènement contraire d'un évènement E noté [pic] est
[pic] :
La probabilité de l'évènement : «Est élève de première » est [pic]
Définition: La probabilité p(A) d'un événement A est un nombre compris entre 0 et 1 :
[pic]
La probabilité de l'événement certain est égale à 1.
La probabilité de l'évènement impossible est égale à 0.
2°) Propriétés: La probabilité d'un événement A est la somme des probabilités des
événements élémentaires qui le constituent.
Si A = { a1, a2, ... , ak} alors p (A) = p(a1) + p(a2) + ... + p(ak ).
p([pic]) = 1 - p(A)
p(A(B) = p(A) + p(B) - p(A(B)
La probabilité p(A(B) de l'union de deux événements incompatibles A et B
est égale à la somme p(A) + p(B) des probabilités.
Exemple : On note : T l'évènement «Est élève de terminale », Es
l'évènement «Est élève de ES »,
S l'évènement «Est élève de S ».
La probabilité de l'évènement «Est en terminale ou en section ES »
est
p(T(ES) = p(T) + p(Es) - p(T(Es) =[pic].
ES et S sont deux évènements incompatibles, la probabilité de
l'évènement ES (S est :
p(ES (S) = p(ES) + p(S) =[pic].
3°) Equiprobabilité: L'équiprobabilité correspond au cas où tous les événements élémentaires ont
la même probabilité. Il en résulte que : p1 = p2 = ....... = pn = [pic].
Dans le cas où tous les événements élémentaires sont équiprobables, la
probabilité d'un événement A est : p(A) = [pic]
Une roue est partagée en douze secteurs de même dimension. Quand on fait
tourner la roue elle s'arête de façon aléatoire et la flèche ne peut
indiquer qu'un seul secteur. On note B l'évènement « le secteur désigné est
bleu », R l'évènement « le secteur désigné est rouge » et V l'évènement
« le secteur désigné est vert »
Si on s'interresse à la couleur du secteur du secteur désigné
p(B) =[pic], p(R) =[pic] et p(V) =[pic] Probabilité conditionnelle Reprenons le tableau de distribution des élèves. On tire la fiche d'un
élève de terminale, la probabilité qu'il soit en section ES est : [pic].
La probabilité de l'évènement « est inscrit en section ES, sachant qu'il
est élève de terminale » est dite probabilité conditionnelle. Si on note :
T l'évènement «Est élève de terminale», et ES l'évènement «Est en section
ES»,
La probabilité conditionnelle de l'évènement ES sachant T est notée p(ES(T)
ou pT(ES). définition Si p(A) ( 0, la probabilité conditionnelle de l'événement B sachant que
l'événement A est réalisé, notée pA(B) ou p(B ( A), est définie par :
p( B ( A ) = [pic]
Dans le tableau suivant on a calculé les probabilités conditionnelles des
différentes sections pour le niveau connu :
|Tableau de distribution des | | |Section | |
|probabilités conditionnelles des | | | | |
|différentes sections pour le | | | | |
|niveau connu. | | | | |
| | | |ES |S |L |Ensembl|
| | | | | | |e |
| |Nivea|Premièr|7/19 |8/19 |4/19 |1 |
| |u |e | | | | |
| | |Termina|8/21 |9/21 |4/21 |1 |
| | |le | | | | |
| |Rappel |15/40 |17/40 |1/5 |1 |
| |Ensemble | | | | |
Remarque :
La lecture du tableau de distribution des probabilités conditionnelles des
différentes sections pour le niveau connu ne nous permet pas de trouver les
probabilités des différents évènements ES, S ou L.
Pour cela nous avons besoin de formules permettant de calculer la
probabilité d'un évènement, à partir de la probabilité d'autres évènements.
formule des probabilités composées Cette formule permet de calculer la probabilité p(A(B) de la réalisation
simultanée des évènements A et B à partir de la réalisation de l'un des
évènements et de la probabilité de réalisation conditionnelle de l'autre
évènement sachant que le premier est réalisé. Elle se déduit de la
définition de la probabilité conditionnelle. A et B sont deux événements, de probabilité non nulle.
p( A ( B ) = p( A ( B ) ( p(B) = p( B ( A ) ( p(A) Exemple : On note : T l'évènement «Est élève de terminale », Es l'évènement
«Est élève de ES »
p( Es ( T ) = p( Es ( T ) ( p(T) =[pic]
et dans le tableau initial nous avions p( Es ( T ) =[pic] formule des probabilités totales E est l'ensemble des évènements élémentaires d'une expérience aléatoire.
Les évènements A1, A2, ..., Am forment une partition de E lorsque E est la
réunion des évènements Ai et que les évènements Ai sont deux à deux
incompatibles. A1, A2, ..., Am forment une partition de E, la probabilité d'un évènement
B est donnée par événements, de probabilité non nulle.
p(B) = p( B ( A1 ) + p( B ( A2 ) + ... + p( B ( Am) Exemple : On note : T l'évènement «Est élève de terminale », Es l'évènement
«Est élève de ES » T et [pic]forment une partition d'où p( Es) = p( Es ( T ) + p( Es ( [pic] )
= [pic]
Remarque :
En terminale ES l'utilisation de ces formules est souvent facilité par un
arbre pondéré.
Représentons les données du tableau de distribution des élèves à l'aide
d'un arbre pondéré. Arbres pondérés
|Arbre pondéré |probabilités composées |probabilité|
| | |s totales |
| | |[pic] |Es |p( Es ( T ) = p( Es ( T ) ( p(T) | | | |
| | | | |=[pic] | | | |
| |T |[pic] |S |p( S ( T ) = p( S ( T ) ( p(T) | | | |
| | | | |=[pic] | | | |
| [pic] | |[pic] |L |p( L ( T ) = p( L ( T ) ( p(T) | |
| | | | |=[pic] |p(Es)=[pic]|
| | | | | | |
| | | | | |p(S)=[pic] |
| [pic] | |[pic] |Es |p( Es ( [pic] ) = p( Es ( [pic] ) | |
| | | | |( p([pic]) =[pic] |p(L)=[pic] |
| |[p|[pic] |S |p( S ( [pic] ) = p( S ( [pic] ) ( | | | |
| |ic| | |p([pic]) =[pic] | | | |
| |] | | | | | | |
| | |[pic] |L |p( L ( [pic] ) = p( L ( [pic] ) ( | | | |
| | | | |p([pic]) =[pic] | | | |
Règles d'utilisation On admettra plus généralement que :
- La somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même n?ud
est égale à 1.
- Lorsqu'une situation est représentée par un arbre pondéré, la probabilité
d'un événement correspondant