CORRIGE DES OLYMPIADES ACADEMIQUES DE

CORRIGE DES OLYMPIADES ACADEMIQUES DE
MATHEMATIQUES-2004
EXERCICE N° 1 1) Il s'agit de déterminer a et b tels que la fonction f ainsi définie
vérifie à la fois [pic]
Cela signifie [pic] Les conditions d'existence des racines impliquent [pic]
ce qui donne [pic]
Dans ces conditions, les deux égalités deviennent [pic] et [pic], d'où :
[pic] soit [pic]
Par soustraction on obtient [pic] On déduit alors [pic], d'où [pic]
Après vérification, on conclut que 2 et 3 sont échangeables avec [pic] 2) Il faudrait déterminer a et b tels que [pic] Cela implique [pic] d'où
[pic] et en élevant au carré on obtient :
[pic], ce qui donne [pic], ce qui évidemment n'est pas possible puisqu'une
racine carré est positive.
Par conséquent 4 et 7 ne sont pas échangeables. 3) Supposons que des entiers relatifs u et v avec [pic] sont
échangeables.
Il existe alors des réels a et b tels que [pic] Les conditions d'existence
des racines impliquent [pic] soit [pic] et comme [pic], cela revient à
[pic]
Dans ces conditions les deux égalités entraînent par soustraction [pic] En
multipliant par le conjugué on obtient [pic] et puisque [pic], on déduit
[pic]
Supposons [pic]. Alors [pic] et d'autre part, comme u et v sont des
entiers avec [pic] on a [pic], d'où [pic] et comme [pic], on déduit
[pic][pic] Mais alors on aurait [pic] ce qui n'est pas possible.
Par conséquent [pic] soit [pic] et [pic] soit [pic] On déduit alors [pic]
autrement dit u et v sont consécutifs.
Réciproquement, on montre que deux entiers u et v consécutifs sont
échangeables et de plus il est facile de voir que les uniques valeurs de a
et b sont [pic] ce qui donne la fonction f définie par [pic]
En conclusion, les entiers u et v sont échangeables si et seulement s'ils
sont consécutifs. EXERCICE N° 2 1) La fonction constante définie pour tout point point M par [pic] est un
tel exemple. 2) a) Pour une telle configuration, on a [pic] Les points A et B sont
donc équidistants de M et N, par conséquent A et B se trouvent sur la
médiatrice du segment [MN]. Par ailleurs, le triangle AMN est isocèle en A
et comme [pic] on déduit [pic] la moitié d'un angle de [pic] De là, la
construction des points A et B est claire :
On construit d'abord la droite d médiatrice de [MN]. On construit ensuite
un point intermédiaire R tel que le triangle [pic] soit équilatéral. On
construit la bissectrice de l'angle [pic]. Un des deux points cherchés, par
exemple A sera l'intersection de cette bissectrice avec la droite d. On
finit par construire (avec le compas) le point B sur d, de l'autre côté de
[pic], tel que [pic] M
d R A B N
b) Si f est une fonction vérifiant la propriété (P), les triangles MAB et
NAB étant équilatéraux, on a [pic] et [pic] Par soustraction on obtient
[pic] soit [pic] 3) Pour tous points M et N, on a [pic] (cela veut dire que f est une
fonction constante).
Dans le triangle équilatéral MAB, on a [pic] et [pic] et [pic] devient
[pic]
Cela veut dire qu'il existe une seule fonction vérifiant (P), a savoir la
fonction constante définie pour tout point point M par [pic]. 4) Soit f une telle fonction. Soient M et N deux points distincts, A le
milieu de [MN] et B et C les points tels que les triangles CAM et [pic]
soient équilatéraux (voir figure).
Il est facile de prouver que MABC et NBCA sont des losanges et par
conséquent : C B M A
N
[pic] et [pic] et par soustraction on obtient [pic] soit [pic]
Ceci étant valable pour tous points M et N, on a [pic] et l'égalité [pic]
devient [pic]
Il est aisé de voir que la fonction ainsi définie vérifie la condition
requise, donc la fonction constante f définie par [pic] est la seule
vérifiant la condition donnée. EXERCICE N° 3 1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17 et 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 16 sont de
telles suites. 2) a) La somme d'un nombre pair de nombres impairs est paire.
En effet en groupant ces termes par deux, on obtient un certain nombre de
groupes de deux nombres. La somme dans chaque groupe est paire et par
conséquent la somme des sommes dans chaque groupe, autrement dit la somme
de tous les nombres, est paire
Supposons maintenant que la suite comporte un nombre impair de termes
pairs. Comme en tout il y a 9 termes, il reste alors un nombre pair de
termes impairs dont la somme est paire d'après ce qui précède. Comme la
somme des termes pairs est paire, on déduit que la somme de tous les termes
de la suite est paire, ce qui est faux car cette somme vaut 53. b) D'après ce qui précède, moins de 4 termes pairs signifie aucun ou 2
nombres pairs.
Or les plus petits termes d'une suite de 9 nombres avec aucun terme impair
sont 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. Comme cela dépasse largement 53, il
n'existe pas de suite de 9 nombres naturels non nuls avec aucun nombre
impair.
Si la suite comportait exactement deux nombres pairs, les plus petits
termes seraient 1, 2, 3, 4 5, 7, 9, 11, 13, la somme serait alors 55, ce
qui dépasse encore 53. Donc il n'existe pas non plus de suite de 9 nombres
avec 2 termes pairs. Donc la suite admet au moins 4 termes pairs. 3) Si la suite ne comportait aucun multiple de 3, la suite dont la somme
des termes est minimum est 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13. Cette somme
minimum est alors 61, ce qui dépasse 53.
Par conséquent, la suite admet au moins un multiple de 3. 4) On a [pic] Comme au moins un des termes est divisible par 3, le
produit des termes est aussi divisible par 3.
On a vu qu'il y a au moins 4 termes pairs. S'il y a plus de 4 termes pairs,
il y a en fait plus de 5 termes pairs, le produit de ces termes pairs est
alors divisible par [pic] et donc le produit de tous les termes est
divisible par [pic].
Si la suite comporte exactement 4 nombres pairs un au moins de ces termes
est divisible par [pic] En effet, dans le cas contraire les plus petits
termes d'une telle suite seraient 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 14 ce qui donne
une somme égale à 57 qui dépasse 53.
Le produit des termes pairs est alors divisible par [pic] et donc le
produit de tous les termes est encore divisible par [pic].
Le produit des termes est donc toujours divisible par [pic], et comme il
est aussi divisible par 3, on déduit qu'il est divisible par [pic]
EXERCICE N° 4 On va déterminer dés le début la relation entre x et y, cela permettra de
répondre à la question 1) mais aussi à la question 2).
Considérons donc une configuration ou le point S, symétrique de A par
rapport à la droite (RT) est sur le segment [BC] (figure ci-dessous). C D
T
S
y
B R x A Alors [pic] La distance entre les droites (BC) et (AD) étant [pic] on a
[pic] soit [pic] Si on avait [pic] on aurait [pic] et alors [pic], ce qui
n'est pas possible.
Par conséquent on a [pic], ce qui fait que le projeté orthogonal H de S
sur (AD) appartient au segment [TA].
On a alors [pic] on obtient [pic]
Dans le triangle BRS, rectangle en B, on a d'après Pythagore [pic] et
puisque [pic] on obtient [pic]On déduit alors [pic]
D'un autre côté, dans le triangle [pic] rectangle en H, on a d'après le
théorème de Pythagore
[pic]
On déduit [pic] ce qui donne finalement :
[pic] On peut maintenant répondre aux questions : 1) On remarquera d'abord qu'on doit avoir [pic]
On doit avoir [pic], soit [pic], soit [pic] ce qui donne [pic]
Or les racines de la fonction de second degré [pic] sont [pic] et
l'inégalité précédente entraîne [pic] Si [pic] on obtient [pic] et comme
ces deux valeurs correspondent à des placements de R et T sur les segments
respectifs [AB] et [AD] (T serait alors confondu avec D), on peut affirmer
que la valeur minimale de x est [pic]
Puisque R est sur le segment [BA], on a [pic] et pour [pic] on obtient
[pic] Comme ces valeurs correspondent à des placements de R et T sur les
segments respectifs [AB] et [AD] (R serait alors confondu avec le point B),
on peut affirmer que la valeur maximale de x est 4.
Les figures ci-dessous représentent ces deux situations C D
C D T S T
S
B R x
R A
B R A
2) La relation a été déjà donnée. 3) Les triangles SRT et ART sont isométriques car un est l'image de l'autre
par la symétrie d'axe (RT). L'aire [pic] du triangle SRT est donc celle du
triangle ART, rectangle en A.
Par conséquent [pic] x variant entre [pic] et 4.
[pic] est une quantité positive qui varie dans le même sens que son carré.
Posons donc :
[pic]
La fonction g est dérivable sur l'intervalle [pic] et pour tout x de I,
ona :
[pic] qui a sur I le même signe que [pic] qui s'annule en [pic] On
déduit que g (ainsi que la fonction f ) est décroissante sur