Probabilités - maths et tiques

PROBABILITES
Activités conseillées Activité conseillée
|p290 n°1 : Probabilité ou | |p300 et 301 act2 : Des |
|certitude ? | |statistiques aux |
|p290 n°2 : Des statistiques | |probabilités |
|aux probabilités | |p300 act1 :Chance ou |
| | |stratégie ? |
ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition
2014 I. Expérience aléatoire 1) Exemples :
- On lance une pièce de monnaie et on regarde la face supérieure.
- On lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points
inscrits sur la face du dessus.
- On fait tourner une roue marquée sur ses secteurs de couleurs
différentes et on regarde le secteur marqué par la flèche.
Définitions :
Une expérience (lancé un dé par exemple) est aléatoire lorsqu'elle a
plusieurs résultats ou issues (1 ou 3 par exemple) et que l'on ne peut
pas prévoir, à priori, quel résultat se produira.
L'ensemble des issues d'une expérience s'appelle l'univers (1, 2, 3, 4, 5
ou 6).
2) Réalisons une expérience aléatoire : Chaque élève lance 100 fois un dé à six faces et note les effectifs
d'apparition de chaque face dans le tableau : |Faces |1 |2 |3 |4 |5 |6 |Total |
|Effectifs |20 |14 |10 |22 |16 |18 |100 | On regroupe ensuite l'ensemble des résultats de la classe dans un même
tableau puis on calcule les fréquences d'apparition de chaque face. |Faces |1 |2 |3 |4 |5 |6 |Total |
|Effectifs |434 |456 |443 |459 |435 |473 |2700 |
|Fréquences |16,1% |16,9% |16,4% |17% |16,1% |17,5% |100 | Les fréquences d'apparition sont très proches les unes des autres.
Théoriquement, il y a autant de chance d'obtenir un 1, un 2, ... ou un 6.
En effectuant un nombre encore plus grand de lancers, les fréquences se
rapprocheraient les unes des autres de façon encore plus évidente. La suite de la leçon nous expliquera comment calculer les fréquences
théoriques d'une expérience aléatoire. Exercices conseillés En devoir Exercices
conseillés En devoir
|p307 n°2, 3, |p307 n°5 | |p316 n°2 à 5 |p322 n°44 |
|4, 6, 7* | | |p322 n°43, 44,| |
|p310 n°33* | | |46 | |
|p308 n°14* | | | | |
ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition
2014 TP : « Lancers de dés » et « Des billes... » sur la page :
http://www.maths-et-tiques.fr/index.php/cours-et-activites/activites-et-
exercices/niveau-seconde II. Probabilité d'un évènement 1) Arbre des possibles Exemple :
Lorsqu'on fait tourner la roue, quatre issues sont possibles. On le
schématise sur l'arbre des possibles :
Définition :
L'arbre des possibles permet de visualiser les issues d'une expérience
aléatoire.
2) Probabilité Définition :
Les fréquences obtenues d'un événement E se rapprochent d'une valeur
théorique lorsque le nombre d'expérience augmente (Loi des grands nombres).
Cette valeur s'appelle la probabilité de l'événement E. Exemple :
2 secteurs sur 8 sont de couleur bleue. Lors d'une expérience aléatoire, il
y a donc 2 chances sur 8 d'obtenir un secteur de couleur bleue.
On dit que la probabilité d'obtenir un secteur bleu est égale à [pic], soit
[pic].
On inscrit sur l'arbre des possibles les probabilités des différentes
issues.
3) Evènement Exemple :
Soit l'évènement E « La roue s'arrête sur un secteur bleu ou rouge ».
On pourrait se demander qu'elle est la probabilité que cet évènement se
réalise ? E se réalise : [pic] + [pic] = [pic] On dit que la probabilité que l'évènement E se réalise est égale à [pic] et
on note :
P(E) = [pic]. Définitions :
- Un évènement est constitué de plusieurs issues d'une même expérience
aléatoire.
- Les événements élémentaires sont les événements réduits à une unique
issue de l'expérience.
Dans l'exemple, « La roue s'arrête sur un secteur bleu ou rouge » est un
évènement.
« La roue s'arrête sur un secteur bleu » est un évènement élémentaire.
Méthode : Dénombrer pour calculer une probabilité [pic] Vidéo https://youtu.be/5ZNYG3e2g_k On considère l'expérience aléatoire suivante :
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes.
Soit E l'évènement : « On tire un as ».
Quelle est la probabilité que l'évènement E se réalise ?
Il a 32 issues possibles car il existe 32 façon différentes de tirer une
carte.
L'événement E possède 4 issues possibles : As de c?ur, as de carreau, as de
trèfle et as de pique.
La probabilité que l'événement E se réalise est donc égale à : P(E) =
[pic]. Exercices conseillés En devoir Exercices
conseillés En devoir
|p308 n°11, |p308 n°12 | |p316 n°7 |p317 n°11 |
|13, 15 | | |p317 n°10 | |
|p307 n°8, 9, | | |p316 n°6, 9, | |
|10 | | |8* | |
|p311 n°41 | | |p322 n°48, 51 | |
|p308 n°19 | | |p324 n°61* | |
|p310 n°36 | | |p322 n°52 | |
|p305 n°1* | | |p320 n°37 | |
|p311 n°39* | | | | |
|p312 n°46* | | | | |
ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition
2014
Activité conseillée Activité conseillée
|p291 n°3 : Avec ou sans | |p301 n°3 : Avec ou sans |
|remise | |remise |
ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition
2014
Méthode : Calculer une probabilité en utilisant un arbre des possibles
On considère l'expérience aléatoire suivante :
On lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits sur
la face du dessus.
Soit E l'évènement : « La face du dessus est un 1 ou un 6 ».
Quelle est la probabilité que l'évènement E se réalise ?
On construit l'arbre des possibles de l'expérience aléatoire :
Chaque issue à la même probabilité : il y a une chance sur six de sortir un
1, un 2, ... ou un 6.
On dit qu'il y a équiprobabilité. [pic] + [pic] = [pic] = [pic] Ainsi P(E) = [pic]
La probabilité que l'évènement E se réalise est de [pic].
Il y a donc une chance sur trois d'obtenir un 1 ou un 6 en lançant un dé.
Propriétés :
1) La probabilité P(E) d'un événement E est telle : 0 ? P(E) ? 1.
2) La somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1.
3) La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des
événements élémentaires qui le constituent.
4) Evènement contraire Exemple :
On considère l'expérience aléatoire suivante :
On lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits sur
la face du dessus.
Soit E l'évènement : « La face du dessus est un 1 ou un 6 ».
Alors l'évènement contraire de E est : « La face du dessus est un 2, un 3,
un 4 ou un 5 ». Cet évènement est noté [pic]. Propriété :
La probabilité de l'événement contraire d'un événement E est : P([pic]) = 1
- P(E) 5) Exemple d'une expérience aléatoire à deux épreuves Méthode : Calculer une probabilité d'une expérience à deux épreuves [pic] Vidéo https://youtu.be/gFnCzFIjtqk On lance deux fois de suite une pièce de monnaie. Il s'agit d'une
expérience aléatoire à deux épreuves.
Soit E l'évènement : « On obtient au moins une fois la face PILE. »
Calculer P(E).
(P ; P) [pic]x[pic]= [pic] (probabilité
d'obtenir deux piles)
(P ; F) [pic]x[pic]= [pic] (probabilité
d'obtenir pile puis face) (F ; P) [pic]x[pic]= [pic] (probabilité
d'obtenir face puis pile)
(F ; F) Sur un même chemin, on multiplie les
probabilités.
P(E) = [pic] + [pic] + [pic] = [pic]
La probabilité que l'évènement E se réalise est de [pic].
Il y a donc trois chances sur quatre d'obtenir au moins une fois la PILE
lorsqu'on lance deux fois de suite une pièce de monnaie.
Exercices conseillés En devoir Exercices
conseillés En devoir
|p308 n°21 |p309 n°23 | |p317 n°12, 14,|p317 n°13 |
|p310 n°34, 35|p308 n°18 | |16, 17, 18 | |
| | | |p318 n°19, 21,| |
|p308 n°16, 17| | |22 | |
| | | |p323 n°54 | |
|p309 n°22 | | | | |
|p310 n°38 | | | | |
|p308 n°20* | | | | |
|p305 n°3* | | | | |
ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition
2014 TP conseillé s TP conseillés
|TP Tice2 p301 : Simuler et | |p310 TP2 : Simuler et |
|comprendre la loi des grands | |comprendre la loi des grands|
|nombres | |nombres |
|TP Tice3 p302 : Sommes de | |p312 TP4 : Sommes de |
|plusieurs dés | |plusieurs dés |
|TP Algo1 p303 : Lancers de | |p310 TP1 : Lancers de dés |
|dés | | |
ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER