Problème I : Réponse impulsionnelle, fonction de transfert, et stabilité

Examen d'Automatique 1998
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Problème I : Réponse impulsionnelle, fonction de transfert, et stabilité On étudie un système S d'entrée [pic]et de sortie [pic] dont la réponse
impulsionnelle vaut [pic] pour [pic](et [pic] pour[pic]). 1. Expliquer ce que représente la réponse impulsionnelle d'un
système. Quelle est la relation avec la fonction de transfert ?
Déduire l 'équation différentielle de S. 2. S est-il stable au sens EBSB (sens que l'on précisera) ?
Justifier la réponse. 3. Calculer la réponse indicielle de S, notée [pic]. 4. S est placé dans un asservissement à retour unitaire dont le
schéma-bloc est représenté ci-dessous. Etudier la stabilité
selon la valeur du gain k. 5. Le gain k précédent est remplacé par un filtre paramétrable dont
la fonction de transfert est [pic],
avec[pic],[pic]et[pic]positifs. Quelles sont les con-traintes
sur les valeurs de a, b et [pic] pour que cet asservissement
soit stable ?
Problème II : Etude des erreurs permanentes d'un système bouclé La fonction de transfert [pic]d'un système bouclé d'entrée [pic]et
de sortie [pic] est donnée ci-dessous avec les deux paramètres
[pic]et [pic]. On souhaite calculer la limite de l'écart [pic]quand
[pic], ceci pour trois entrées [pic] différentes: [pic] 1. A cette fin, on rappellera le théorème de la valeur finale, puis
on calculera l'expression de [pic]en fonction de [pic] et [pic]. 2. [pic]est d'abord un échelon unité : calculer [pic] (ou « erreur
de position du système »). Quelle est la signification pratique
du résultat obtenu ? 3. [pic]est ensuite une rampe unité : calculer la même limite (ou
« erreur de vitesse ») et interpréter le résultat obtenu. 4. Enfin, même calcul pour[pic] (on obtient « l'erreur
d'accélération »). Justifier l'appellation « échelon
d'accélération » pour [pic]. Indiquer la signification pratique
de ce troisième résultat. 5. Pour terminer, on demande de calculer les erreurs de position,
de vitesse, et d'accélération telles que définies ci-dessus,
pour le système asservi suivant : Problème III : Réponse harmonique et stabilité La fonction de transfert en boucle ouverte d'un asservissement que
l'on étudie est donnée, et vaut : [pic]. On considère pour
commencer que [pic]. 1. Prévoir la réponse harmonique en boucle ouverte (ou RHBO) dans
le diagramme de Bode en utilisant l'approximation linéaire dite
« des asymptotes ». Justifier le choix des pulsations portées
sur le diagramme, de 0.1 rd/s jusqu'à 10 rd/s. 2. Que valent précisément gain et phase à la pulsation [pic] (1)
sur la réponse approximée par les asymptotes (2) sur la réponse
réelle ? Déterminer les marges de gain et de phase. 3. Pour quelles valeurs de [pic] le système bouclé devient-il
instable selon qu'on raisonne (1) sur les asymptotes ? (2) sur
la réponse réelle ? Quelle est la pulsation des oscillations ?
Problème IV : Réponse en temps minimal d'un système discret On programme l'équation récurrente suivante : [pic], calculée avec
la fréquence d'échantillonnage de [pic] 1. Analyser la stabilité et la causalité du filtre correspondant
selon les paramètres a et b, à partir de sa fonction de
transfert [pic]. 2. Calculer la réponse indicielle pour [pic]et [pic]. Vérifier les
valeurs ini-tiale et finale de cette réponse. Que vaut le gain
statique ? 3. On programme une équation supplémentaire dans laquelle [pic]est
calculé comme valant [pic] ; [pic]est un signal discret de
consigne engendré par le programme. Ecrire l'équation aux
différences du système résultant (reliant les [pic]et les
[pic]), et déduire la fonction de transfert associée, soit
[pic]. 4. Calculer la valeur de k qui assure un pôle en [pic] à ce
processus discret. Que devient [pic] pour cette valeur ?
Interprétation ? 5. Au cours de la réponse à un échelon unité du système ainsi
réglé, calculer et représenter les signaux discrets [pic],
[pic]et[pic] pour [pic].
Problème V : Identification et MATLAB Le graphique suivant a été obtenu avec MATLAB :
1. Que représente ce graphique selon vous ? 2. Identifier le processus simulé (on donnera sa fonction de transfert
[pic]). 3. Proposer un script MATLAB qui permettrait de reproduire le graphique ci-
dessus, en expliquant le pourquoi et le comment des instructions
utilisées. -----------------------
[pic]
S
sortie
entrée
+
-
+
-
[pic]
[pic]
[pic]