SUBIECTE_TEORIE_LICENTA_2012.doc - Facultatea de ...

Universitatea Politehnica din Timisoara
Facultatea de Management în Productie si Transporturi
Domeniul de licent?: Inginerie si Management
SUBIECTE pentru examenul de licent?
Disciplina: Matematica Titular disciplina: Conf.dr.GOLET, Prof.dr.PETRISOR
1. Ce este o baz? într-un spa?iu liniar finit dimensional ?i cum se
exprim? coordonatele unui vector relativ la o baz? ? R?spuns:
Baza într-un spa?iu vectorial peste corpul K este un sistem de vectori B
= (e1, e2, ..., en), liniar independen?i ?i care genereaz? spa?iul, adic?
orice vector v se exprim? ca o combina?ie liniar? de vectorii din B: v = x1
e1 + x2 e2 + ... + xn en , x1, x2, ..., xn ? K. Scalarii x1, x2, ..., xn se
numesc coordonatele vectorului v în baza B.
2. Defini?i no?iunile de valori ?i vectori proprii ai unui operator liniar.
R?spuns:
Fie V un spa?iu vectorial peste corpul K ?i f : V ( V un operator
liniar. Un vector nenul v ? V se nume?te vector propriu al operatorului f
dac? exist? un scalar ( din K a.î. f(v) = (v. Scalarul ( se nume?te
valoare proprie.
3. Defini?i no?iunile de ?ir numeric ?i de serie numeric?. Cum se
aproximeaz? suma unei serii numerice ? R?spuns:
Un ?ir numeric este o func?ie f : N ( R, valoarea f(n) = un numindu-
se termenul general al ?irului.
Cu termenii ?irului (un)n ? N se construie?te ?irul cu termenul
general sn = u0 + u1 + ... + un.
Perechea format? din ?irul (un)n ? N ?i (sn)s ? N se nume?te serie
cu termenul general un ?i se noteaz? [pic]. La o serie se pun 2 probleme:
determinarea naturii (convergen?a sau divergen?a) ?i calculul sumei sale
[pic].
Aproximarea sumei S a seriei convergente [pic]se face prin formula S
( sn, cu eroarea de aproximare rn = un+1 + un+2 + ... .
Teoria seriilor este o combina?ie între studiul sumelor finite ?i cel
al limitelor de ?iruri.
4. Ce reprezint? logaritmul în baza dat? a > 0, a ? 1 a num?rului N > 0 ?
R?spuns:
[pic]. Deci [pic] este puterea la care trebuie ridicat? baza pentru a
ob?ine num?rul.
5. Scrie?i ecua?ia general? a unui plan în spa?iu, respectiv a unei drepte
determinat? de 2 puncte, în spa?iu. R?spuns:
Consider?m punctele [pic]din spa?iu ale c?ror coordonate sunt [pic]
?i [pic].
Ecua?iile canonice ale dreptei determinate de [pic]?i [pic]sunt :
[pic].
Ecua?ia general? a unui plan este: a x + b y + c z + d = 0.
6. Ce reprezint? num?rul de pivo?i din forma scar? redus? a unei matrice
(ce informa?ie codific?) ? R?spuns: Num?rul de pivo?i este egal cu rangul matricii ?i cu num?rul maxim de
coloane liniar independente.
7. Cine d? dimensiunea unui spa?iu vectorial ? R?spuns:
Num?rul de vectori dintr-o baz? a spa?iului.
8. Ce este o baz? ortonormat? în spa?iul Rn ?i cum se exprim? coordonatele
unui vector într-o astfel de baz? ?
R?spuns:
O baz? ortonormat? B = (e1, e2, ..., en) este o baz? cu proprietatea
c? oricare doi vectori distinc?i sunt ortogonali [pic] ?i norma fiec?rui
vector este egal? cu unu [pic]. Un vector v se descompune în baza B
astfel: v = (v, e1( e1 + (v, e2( e2 + ... + +(v, en( en .
9. Ce este o matrice ortogonal? ?i între ce fel de baze ale spa?iului Rn
matricea de trecere este ortogonal? ?
R?spuns:
O matrice ortogonal? este o matrice p?tratic? cu elemente reale cu
proprietatea c? produsul ei cu transpusa este matricea unitate: AAT = In
. Matricea de trecere între dou? baze ortonormate este ortogonal?.
10. Dac? L : Rn ( Rn este un operator liniar ?i B = (e1, e2, ..., en) o
baz? în Rn, cum se define?te matricea lui L în aceast? baz? ?i care
este echivalentul matriceal al rela?iei w = L(v) ? R?spuns:
Matricea asociat? are pe fiecare coloan? i, coordonatele vectorului
L(ei) în baza B, A = [L(e1) ( L(e2) (..., L(en)] .
w = L(v) se exprim? matriceal astfel: wB = AvB, unde vB, wB este
matricea coloan? a coordonatelor lui v, respectiv w, în baza B.
11. Cum se calculeaz? valoarea medie, M(X), ?i dispersia (2(X) a unei
variabile aleatoare discrete X ce ia valorile x1, x2, ..., xn ,
respectiv cu probabilit??ile p1, p2, ..., pn, [pic] ?i a unei variabile
aleatoare continue, X, de densitate de probabilitate f ? R?spuns:
Dac? variabila aleatoare X este discret?, atunci [pic], iar [pic].
Dac? variabila X este continu? atunci ea are valoare medie dac?
integrala [pic] exist? ?i este finit? ?i în acest caz dispersia ei este
num?rul:
[pic],
dac? integrala exist? sau variabila nu are dispersie în caz contrar.
12. Cum se define?te probabilitatea unui eveniment B, condi?ionat? de un
eveniment A de probabilitate nenul? ? R?spuns:
Probabilitatea condi?ionat? se define?te astfel: [pic]. 13. Care este mul?imea valorilor unei variabile aleatoare X ce are
distribu?ia Poisson, de parametru ( ( 0 ?i ce anume contorizeaz? o
astfel de variabil? ? Care este media ?i dispersia unei variabile
aleatoare, X ( Poiss(() ? R?spuns:
O variabil? aleatoare având distribu?ia Poisson, de parametru ( ia
valorile 0, 1, ..., k, ... ?i o valoare k indic? num?rul de produceri ale
unui eveniment rar într-o unitate de timp, fixat?, ?tiind c? evenimentele
se produc independent ?i num?rul mediu de produceri al acestora este (.
Valoarea medie ?i dispersia unei variabile aleatoare Poisson distribuit?
este (.
14. În ce rela?ie este densitatea de probabilitate fXY a unui vector
aleator (X, Y), cu densit??ile marginale fX , fY , dac? X, Y sunt
variabile aleatoare independente ? R?spuns:
Densitatea de probabilitate a vectorului aleator este produsul
densit??ilor marginale.
15. Dac? x1, x2, ..., xn sunt observa?ii independente asupra unui
e?antion de n indivizi ai unei popula?ii statistice, a c?rei
caracteristic?, X, investigat? este aleatoare, de distribu?ie de
probabilitate necunoscut?, care sunt estimatorii nedeplasa?i ai mediei
?i dispersiei ? R?spuns:
Estimatorul mediei este [pic], iar al dispersiei [pic].
| [pic] |UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" din TIMI?OARA |[pic] | | |
| |DEPARTAMENTUL BAZELE FIZICE ALE INGINERIEI | | | |
| |Bd.Vasile Pârvan Nr.2 300223 TIMI?OARA | | | |
| |Telefon: 0256-403391, Fax: 0256-403392 E-Mail: | | | |
| |secretariat.bfi@et.upt.ro | | | |
Propunere de subiecte pentru Examenul de licen?? - FIZICA 1. Enun?a?i principiul al doilea al dinamicii. R?spuns - Accelera?ia imprimat? unui corp de mas? dat? este direct
propor?ional? cu for?a care ac?ioneaz? asupra corpului. [pic] unde m?rimile au urm?toarea semnifica?ie: m - masa corpului, [pic]-
accelera?ia corpului, [pic] - rezultanta for?elor ce ac?ioneaz? asupra
corpului. 2. Enun?a?i legea conserv?rii energiei mecanice. R?spuns - Energia mecanic? total? a unui sistem izolat, asupra c?ruia
ac?ioneaz? numai for?e conservative, r?mâne constant? în tot timpul
mi?c?rii. [pic] unde Ec - reprezint? energia cinetic? a sistemului izolat, iar Ep -
reprezint? energia poten?ial? a sistemului izolat. Sistem izolat este cel care nu poate schimba cu mediul înconjur?tor
(exterior) energie nici sub form? de c?ldur? nici sub form? de lucru
mecanic. O for?? este conservativ? dac? lucrul mecanic efectuat de aceasta este
independent de forma traiectoriei, el fiind func?ie doar de pozi?ia
punctelor între care are loc deplasarea.
3. S? se defineasc? energia cinetic?
R?spuns - Energia cinetic? (Ec) se define?te ca fiind m?rimea scalar?
egal? cu jum?tatea produsul dintre masa "m" a corpului care se
deplasaz? cu o vitez? de modul "v"?i p?tratul vitezei acestuia.
[pic]
Unitatea de m?sur? a energiei cinetice, în Sistemul Interna?ional de
unit??i, se nume?te Joule, notându-se J.
4. S? se defineasc? energia mecanic?
R?spuns - Prin defini?ie, suma dintre energia cinetic? ?i cea
poten?ial? a unui corp se nume?te energie mecanic? (Em).
Em = Ec+U
Unitatea de m?sur? a energiei mecanice, în Sistemul Interna?ional de
unit??i, se nume?te Joule, notându-se J.
5. S? se defineasc? puterea mecanic?
R?spuns - Puterea mecanic? se define?te ca fiind egal? cu viteza de
varia?ie a lucrului mecanic.
[pic]
unde P- este puterea mecanic?, L - este lucrul mecanic, iar t - este
timpul.
Unitatea de m?sur? a puterii, în Sistemul Interna?ional de unit??i, se
nume?te Watt, notându-se cu W .
Dac? puterea este constant? în timp lucrul mecanic devine [pic].
6. S? se defineasc? energia intern?
R?spuns - Energia intern? a unui sistem termodinamic se define?te ca
fiind suma dintre energia cinetic? ?i cea poten?ial? a acestuia.
Energia cinetic? a sistemului termodinamic este consecin?? a mi?c?rii
browniene, respectiv agita?iei termice a constituen?ilor sistemului
termodinamic, iar energia poten?ial? se datoreaz? interac?iunii dintre
constituen?ii sistemului termodinamic.
Unitatea de m?sur? a energiei interne, în Sistemul Interna?ional de
unit??i, se nume?te Joule, notându-se J.
7. S? se defineasc? c?ldura
R?spuns - Cantitatea de c?ldur?, simbolizat? prin Q, este en