Ejercicios de Matemáticas - IES Bajo Aragón

Ejercicios de Matemáticas 1. Utilizando las propiedades de las potencias simplifica las siguientes
expresiones:
a) [pic] b) [pic] c) [pic] d) [pic]
e) [pic] f) [pic] g) [pic] h) [pic]
(Sol: a) [pic] b) [pic] c) [pic] d) [pic] e) 2(3( 3(3 f) [pic] g)
[pic] h) [pic] ) 2. Efectúa y simplifica:
[pic] [pic] (Sol: a) 1/3 b) 0 ) Racionalizar y simplificar si es posible a) [pic] b) [pic] [pic] (Sol: a) [pic] b) [pic] c) [pic] )
3. Calcula el valor de x en cada caso, utilizando la definición de
logaritmo: [pic][pic] c) [pic] (Sol: a) 6 b) 4 c) 81) 4. Utilizando la definición de logaritmo, calcula:
a) [pic] (Sol: 25/3)
b) [pic] (Sol: (3/2) 5. Indica si es verdadero o falso razonando tu respuesta: a) log 1000x = 3 log x (Sol: Falso)
b) [pic] 6. a) Sabiendo que log 2 = 0,3010, calcula (sin utilizar la calculadora):
[pic] (Sol:(1,0178)
b) Escribe mediante un solo logaritmo:
3 [pic][pic]a + [pic][pic]x ([pic][pic]b + 3 [pic]c ( 4 [pic]3
(Sol: [pic])
7. Si sabemos que log x = 0,85, calcula[pic] (Sol: 5,567)
8. Resuelve las ecuaciones:
a) [pic] (Sol: x = 4)
a) [pic] (Sol: x = 6 )
b) [pic] (Sol: x = 1, x = 3)
c) [pic] (Sol: x = 2)
d) [pic] (Sol: x = 0)
e) [pic] (Sol: x = 3)
f) [pic] (Sol: x = 2)
g) [pic] (Sol: x = 1, x = (2)
h) [pic] (Sol: x = 10)
i) 2 ( log x + log 10 = 1 + log (10x (9) (Sol: x = 1, x = 9) j) [pic] (Sol: x = 1) k) log (x +1) = 2 log 2 + log x ( log (3 ( x) (Sol: x = 1)
l) log (6x (1) ( log (x + 4) = log x (Sol: x = 1) m) 3( log x ( log 30 = log [pic] (Sol: x = 6) n) [pic] (Sol: x = (1)
o) [pic] (Sol: x = 3)
p) [pic] (Sol: x = 3, y = 1; x = 2, y = (1) 9. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a) [pic] b) [pic] c) [pic] d) [pic] (Sol: a) [pic], [pic], b) x = 3 , y = 2, z = 1, c) incompatible, d) x =
5, y = 0, z = (2) 10. Sabiendo que sen 25º = 0,42, halla, (sin utilizar las teclas
trigonométricas de la calculadora), las razones trigonométricas de 155º y
de 205º
Sol:
[pic] [pic] 11. Si sen ( ' 0,35 y 0° < ? < 90° halla (sin calcular ?): a) sen (180
(() b) cos (180 + ()
Solución:
[pic]
b) [pic]
12. Si [pic] y sen ( < 0, ¿a qué cuadrante pertenece (?. Calcula el seno y
el coseno de (. (Sin calcular el ángulo). (Sol: 3º, sen ( = (5/13,
cos ( = (12/13) 13. Calcula los lados y los ángulos del siguiente triángulo:
Sol:
[pic] 14. Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla el valor de sus lados
y de sus ángulos:
Sol:
[pic]
15. En dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 km, son
recibidas señales que manda un barco, B. Si consideramos el triángulo de
vértices A, B y C, el ángulo en A es de 65º y el ángulo en C es de
80º. ¿A qué distancia se encuentra el barco de cada una de las dos
estaciones de radio?
(Sol: a 79 km de C y a 85,85 km de A) 16. Resuelve los siguientes triángulos:
a) a = 12 cm; b = 16 cm; c = 10 cm (Sol: [pic] = 48º 30´ 33´´, [pic]
= 92º 51´ 57,5´´, [pic] 38º 37´ 29,5´´)
b) b = 22 cm; a = 7 cm; C = 40º (Sol: [pic] = 15º 7´ 44,3´´ , B =
124° 52' 15,7", c = 17,24 cm) 17. Simplifica la expresión: [pic] (Sol: tag a) 18. Calcula sen 15º de dos formas distintas. 19. Resuelve las ecuaciones: a) sen2x + cos x = 0 b) 1 + cos2x = cosx c) sen2x = tag x d)
cos (30º + x) = sen x (Sol: a) x = 90, x =210, x = 330 b) x =90º, x =270º, x = 60º, x = 300º,
d) x = 30º, x = 210º)
(Nota: en todas las soluciones hay que sumar k (360º) 20. Dados los vectores [pic] y [pic] = ((2, 2) referidos a una base
ortonormal, Calcula:
a) [pic][pic] (Sol: (6)
b) 2[pic][pic] (Sol: (12)
c) ([pic]+[pic])([pic] (Sol: 2)
21. Calcula el valor de m para que el vector [pic] sea unitario.
(Sol:[pic])
22. Calcula un vector unitario y perpendicular a [pic]= (8, (6). (Sol:
(3/5, 4/5) o ((3/5, (4/5))
23. Halla las componentes del vector libre [pic], siendo A(2, (3) y B((5,
9). (Sol ((7, 12)) 24. Dados los vectores [pic]= (2, (1) y [pic] = (3, 3), calcula:
a) [pic][pic] (Sol: 3)
b) |[pic]| (Sol: [pic])
c) |[pic]+[pic]| (Sol: [pic]
d) cos [pic] (Sol: [pic])
25. Halla el valor de x para que los vectores [pic] y [pic] sean paralelos.
(Sol: x = (16/3) 26. Dados los vectores [pic] e [pic], halla los valores de a y b para que
[pic] e [pic] sean perpendiculares y que [pic]. [pic]
27. Dado el vector [pic], halla:
a) El ángulo que forma con [pic] (Sol: [pic])
b) El valor de k para que [pic] sea perpendicular [pic] (Sol k = 3/2)
28. Averigua cual es el valor de m para que los puntos A(1, 0), B(4, (1),
C(m, 2) estén alineados. (Sol: m = (5)
29. Escribe todas las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(1,
(3) y B(2, 0). 30. Calcula el valor de k para que la recta r de ecuación 2x ( (k + 1)y (
4 = 0 pase por el punto (1, 1). (Sol: k = (3) 31. Calcula el valor de a para que las rectas r: 2x + ay = 3 y s: 3x + 5y =
1 sean rectas paralelas.
(Sol: a = 10/3)
32. Obtén las ecuaciones paramétricas de la recta, r, que pasa por P((3,
(2) y es perpendicular a la recta 2x ( y + 4 = 0. (Sol: [pic] )
33. a) Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por P((1, 2)) y
por el punto de corte de las rectas: x ( 2y + 3 = 0 , 2 x + y + 1 = 0.
(Sol: [pic])
b) Determina la posición relativa de la recta que has obtenido en a)) con
2x ( 4y +1 = 0.
(Son paralelas) 34. Calcula el ángulo formado por las rectas: y = (2x + 3, y = 4x + 1.
(Sol: [pic]) 35. Dadas las rectas r: 3x + 4y ( 1 = 0 y s: 4x ( 3y + 2 = 0, calcular: a) El ángulo que forman. . (Sol: 90º) b) Las ecuaciones de las bisectrices. (Sol: x ( 7y + 3 = 0; 7x + y + 1 =
0) 36. Dado el triángulo de vértice los puntos A(1, 1), B((3, 5) y C((1, (2),
calcula la ecuación de :
a) La mediana que parte de B. (Sol: 11x + 6y + 3 = 0)
b) La altura que parte de C. (Sol: x ( y ( 1 = 0) 37. Averigua en cada caso, la ecuación general de la recta paralela y de la
recta perpendicular a r que pasa por el punto (1, 3):
a) r: 3x ( 2y + 4 = 0 (Sol: 3x ( 2y + 3 = 0; 2x + 3y ( 11 = 0)
b) r: [pic] (Sol: x ( 3y + 8 = 0; 3x + y ( 6 = 0)
c) y = (2x + 3 (Sol: 2x + y ( 5 = 0; x ( 2y + 5 = 0) 38. Dados los puntos A(1, 1) y B(3, 2) y la recta r: x ( y + 5 = 0. Halla: a) El simétrico de A respecto B. (Sol: (5, 3) ) b) El simétrico de B respecto r. (Sol: ((3, 8) ) 39. Calcula la distancia entre las rectas r y s, siendo r: x + 3y +1 = 0 y
s: x + 3y ( 2 = 0.
[pic]
40. Dados el punto P(k, 1) y la recta r: 3x ( 4y + 1 = 0, halla el valor
de k para que la distancia de P a r sea 3. (Sol: k1 ' 6; k2 ' -4)
41. Halla el punto simétrico de P(2, 3) con respecto a la recta r: 3x (
y + 5 = 0. (Sol:[pic]
42. Dados los puntos P(0, -4), Q(2, -5) y la recta r: -3x + y + 1 ' 0,
halla la distancia:
a) Entre P y Q (Sol: [pic])
b) De Q a r. (Sol: [pic])
43. Dado el triángulo de vértices A(2, 4), B((6,5)) y C(4, 1)), halla:
a) Las ecuaciones de las alturas que parten de A y de C. (Sol:
[pic], [pic])
b) El ortocentro. ((punto de corte de las alturas) (Sol: [pic]) 44. Halla el área del triángulo de vértices A(4, 0), B(2, 3) y C(0, (2).
(Sol: 8 u2 ) 45. Halla la ecuación de la mediatriz del segmento que tiene como extremo
los puntos de corte de la recta 3x + 4y ( 12 = 0 con los ejes de
coordenadas. (Sol:[pic])
46. Dados los puntos A((2, 1) y B(1, 3), halla las rectas que pasan por A y
distan dos unidades de B
(Sol: y = 1 y 12x ( 5y + 29 = 0 ) 47. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) y = x4 ( 2x2 (Sol: R)
b) [pic] (Sol:[pic])
c) [pic] (Sol: [pic])
d) y = [pic] (Sol: (((. (2] ( [2, +())
e) y = ln (x2 ( 4x + 3) (Sol: (((. 1) ((3, +() ) 48. A partir de la gráfica de f(x), calcula a) [pic] b) [pic] c) [pic] d) [pic] e) [pic]
(Sol: a) + ( b) (( c) 2 d) 3 e) 0 49. Halla el valor de k para que f(x) sea continua en x = 1: [pic] (Sol k
= 3) 50. Calcula los siguientes límites: a) [pic] (Sol: (1/2)
b) [pic] (Sol: 0)
c) [pic] (Sol: 1/2)
d) [pic] (Sol: 0)
e) [pic] (No existe)
f) [pic] (Sol: (2)
g) [pic] (Sol: 1)
h) [pic] (Sol: 0)
i) [pic] (Sol: 24)
j) [pic] (Sol: +()
k) [pic] (Sol: 2)
l) [pic] (Sol: 13/7)
m) [pic] (Sol: 8)
n) [pic] (Sol: 0)
o) [pic] (Sol: 1/4)
p) [pic] (Sol: 2)
q) [pic] (Sol: [pic]/16)
r) [pic] (Sol: (10)
s) [pic] (Sol: 1/6)
t) [pic] (Sol: 1/3)
u) [pic] (Sol: (4)
v) [pic] (Sol:(7)
w) [pic] (Sol: 3)
x) [pic]
(Sol: 9/4)
y) [pic] (Sol: (10)
z) [pic] (Sol: +()
aa) [pic] (Sol:[pic](1)
ab) [pic] (Sol:(3)
ac) [pic] (Sol: 1/4)
ad) [pic] (Sol: 0)
ae) [pic] (Sol: (1)
af) [pic] (Sol: 0)
ag) [pic] (Sol: 4/3)
ah) [pic] (Sol: 4/9)
ai) [pic] (Sol: 16/81)
aj) [pic] (Sol: [pic])
ak) [pic] (Sol: e3)
al) [pic] (Sol: e3/2 )
am) [pic] (Sol: [pic] )
an) [pic] (Sol: [pic])
ao) [pic] (Sol: [pic])
ap) [pic] (Sol: e3) 53. Estudia la continuidad de la función:[pic] (Sol: es continua en R)
54. a) Halla a para que la función definida por [pic] sea continua para
todo valor de x. b) Una vez hallado este valor de a, obtén la ecuación de
la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x = 2. (Sol: a) a =
2 b) y ([pic]=[pic](x (2) )
55. Siendo [pic] y [pic]
a) Halla el dominio de f y g ( Dom f = R, Dom g = [(1/2, +()
b) Halla [pic] y f[pic]g (([pic])(x) = [pic] , (f[pic]g) = 8 ( 2 [pic])
c) Cal