Propagation d'une onde de déplacement transversal le long d'une ...

I ] Etablissement de l'équation de propagation 1) En appliquant le principe fondamental de la dynamique à un élément de
corde de longueur dl, montrer que : 1) Selon l'axe Ox, on a : [pic] Ecrire la relation de conservation correspondante.
[pic] On comprend mieux avec le dessin ci-contre : Figure 1 :contrainte appliquée à
l'élément de longueur dl La projection selon l'axe Ox donne, pour t donné : : [pic] (car [pic], par hypothèse)
D'ou l'on tire : [pic], soit [pic]car on suppose le déplacement longitudinal nul ([pic][pic]faible). La relation de conservation cherchée est bien entendu : [pic]= constante (cos [pic]est très voisin de 1)
[2pts]
2) Montrer que selon l'axe Oy, on a : [pic]
En utilisant la figure 1 de la page précédente, on peut écrire, en
projetant sur l'axe Oy et en appliquant le principe fondamental de la
dynamique au centre de masse de l'élément de corde de longueur dl: [pic]
( en tenant compte des signes qui apparaissent lors de la projection selon
l'axe Oy ) Comme [pic]est toujours faible, on peut remplacer [pic], [pic], T(x,t) et
T(x+dx,t) par T0. Cela donne :
[pic]
Or, [pic][pic].
[pic][pic] et comme [pic](car [pic]est faible), on peut simplifier et on en
déduit le résultat cherché : [pic].
[3pts]
3) Trouver une relation différentielle permettant de relier [pic]. Toujours d'après la figure 1, on peut écrire : [pic]
[pic] [pic] est la relation différentielle cherchée.
[2pts] 4) En utilisant les résultats précédents, retrouver l'équation de
propagation (équation de d'Alembert) vérifiée par la corde, soit : [pic]
On a démontré :
. [pic] (équation 1)
. [pic] (équation 2)
Si on remplace [pic] de l'équation 1 par l'équation 2, on obtient sans
peine : [pic]
[2pts]
5) Calculer µ si la vitesse de l'onde est de 100 m.s -1
D'après l'équation de dimension, la vitesse de l'onde, soit v, est homogène
à [pic].
Donc [pic]. Application numérique : on trouve µ = 0,005 kg . m -1 = 5 g .
m -1 [1pt]
II ] Equations de couplage et impédance mécanique en bout de corde On pose [pic], vitesse de déplacement de la déformation. 2.1) En utilisant les résultats précédents, retrouver les équations
suivantes, dites équations de couplage :
[pic] N.B. : dans ce système [pic] désigne la force projetée sur l'axe Oy, qui
s'exerce au point x, et à l'instant t sur un élément de corde de longueur
dl. Pour faire le lien avec les questions précédentes, mais ce raisonnement
n'est pas obligatoire, on pourrait aussi écrire que : [pic] (le problème du signe est résolu dès que l'on fait un petit dessin...)
. Montrons tout d'abord la première équation, soit :[pic].
On part de l'équation (1) :[pic]
[pic][pic]
[pic][pic] A condition d'utiliser les orientations correctes, à savoir Fy (x,t) vers
le bas et Fy (x+dx,t) vers le haut (voir figure 1). [pic] [pic] ce qu'il fallait démontrer. [2pts] . Montrons maintenant la seconde relation : [pic].
On part de [pic]
Par ailleurs, il a été démontré précédemment que [pic], donc en remplaçant,
on arrive à : [pic] (attention à l'ordre des variables !).
Si maintenant on suppose que la vitesse de déplacement de l'onde est une
grandeur continue, on peut permuter l'ordre des variables au dénominateur :
[pic]
Ainsi : [pic] , ce qu'il fallait démontrer.
[2pts] 2.2) Un anneau de masse M est accroché en x = x0, au bout d'une corde
tendue sous la tension T0. Il est repéré par sa cote y(x,t). L'état de la
vibration de la corde est décrit par la fonction [pic](x,t). Indiquer les valeurs des impédances Z, définies par [pic], avec : [pic]
et [pic] et la condition à la limite x = x0 correspondant au cas où une corde
vibrante est liée : 2.2.a) a un anneau fixé au point de coordonnées [pic].
D'après la définition donnée ci-dessus, on a : [pic]
Donc, dans le cas du 2.2.a), on a y = 0 au point x0. Quel que soit t, on a
donc [pic]et par suite [pic] au point x0.
Ceci, quelle que soit la valeur de [pic][pic].
Conclusion : dans le cas où l'anneau est fixé, Z est infinie
[2pts]
2.2.b) à un anneau de masse négligeable pouvant glisser sans frottements
sur l'axe [pic]quelconque) Si on applique le principe fondamental de la dynamique à l'anneau de masse
m négligeable, on peut écrire : [pic]. (la masse est négligeable)
Comme l'anneau est libre de se déplacer, la réaction R (somme de tout ce
qui est soumis à l'anneau ne venant pas de la corde) est nulle , elle
aussi.
Cela entraîne que [pic]= 0 aussi.
Conclusion : Z = 0 dans le cas d'une extrémité libre de se déplacer sans
frottement.
[2pts] 2.2.c) à un anneau de masse M pouvant glisser sur l'axe [pic]quelconque)
avec des frottements fluides caractérisés par le coefficient [pic], tout en
étant lié par un ressort, de raideur K, et de longueur à vide négligeable. Pour ce troisième cas, les mouvements seront supposés sinusoïdaux, de
pulsation [pic]. Donc il faudra exprimer Z([pic]) en notation complexe
Pour ce dernier cas, on note [pic]la grandeur complexe sinusoïdale associée
à Z
Si on applique le principe fondamental de la dynamique à l'anneau, on peut
écrire : [pic][pic] [pic]
avec y = amplitude de déplacement de l'anneau autour de sa position
d'équilibre. . Le lien entre y (x0,t) et [pic]est donné par : [pic]= [pic]
Ce qui s'écrit aussi [pic] en notation complexe.[pic] Il devient ainsi intéressant d'écrire le principe fondamental de la
dynamique en notation complexe : [pic][pic][pic] D'où l'on tire : [pic] Z représente l'impédance mécanique du dispositif ainsi constitué. Remarque : on aurait pu aussi écrire : [pic]qui doit certainement vous
faire penser à un phénomène connu...(c'est la résonance mécanique, obtenue
pour [pic])
[4pts] [pic]