Exercice I. Ascenceur spatial correction

Métropole BAC S 09/2013 Correction © http://labolycee.org
EXERCICE I. L'ASCENSEUR SPATIAL (5 points)
1. Pourquoi utiliser un satellite géostationnaire pour ce projet ?
1.1. (0,25) Un satellite géostationnaire est situé sur une orbite
équatoriale, à une altitude de 36 000 kilomètres.
(0,25) Il apparaît immobile dans le référentiel terrestre, sa vitesse y est
donc nulle (période infinie).
La courbe représentative de la vitesse orbitale en fonction de l'altitude
permet de dire que dans le référentiel géocentrique sa vitesse est égale à
3 km/s. Enfin sa période est égale à 24h. 1.2. (0,5) La deuxième loi de Kepler ou loi des aires énonce que « les
aires balayées par le vecteur Terre-Satellite pendant des durées égales
sont égales ». Puisque sa trajectoire est circulaire, pour balayer toujours
la même aire en un temps donné, le satellite doit avoir une vitesse
constante. Son mouvement est circulaire et uniforme. 1.3. (0,5) Pour un mouvement circulaire, l'expression du vecteur
accélération dans la base de Frenet est [pic] où r est le rayon de l'orbite
circulaire.
Si le mouvement est uniforme alors [pic] et il vient [pic].
Le vecteur accélération a pour
- direction : le rayon de la trajectoire ; il est radial
- sens : du satellite vers le centre de la Terre ; il est centripète. Dans le référentiel géocentrique, le satellite n'est soumis qu'à [pic]
l'attraction gravitationnelle de la Terre.
La deuxième loi de Newton indique [pic] = m.[pic] où m est la masse du
satellite, soit [pic] = [pic].
Cette loi nous indique également que l'accélération est radiale et
centripète tout comme la force d'attraction gravitationnelle. 1.4. (0,5) Le satellite parcourt son orbite de longueur égale à 2?.(RT+h)
en une durée égale à sa période de révolution TGéo
v = [pic]
v = [pic] = 3,1×103 m.s-1 = 3,1 km.s-1 1.5. (0,25) Pour transformer un satellite géostationnaire en ascenseur
spatial, il faudrait le relier au sol terrestre avec un câble.
(0,25) L'altitude de 36 000 km permet au satellite de rester toujours à
l'aplomb du même point de la surface terrestre.
2. L'ascenseur spatial
2.1. (0,25) 2.2. (0,25) [pic] = [pic]
D'après cette expression v0(z) est une fonction affine de l'altitude z. Sa
représentation est une droite d'ordonnée à l'origine [pic] et de
coefficient directeur [pic]. Ce qui est en accord avec le document 2. 2.3. (0,5) Le document 1 indique que l'ascension du satellite aurait une
durée ?t égale à cinq jours.
Vitesse moyenne ascensionnelle : vA = [pic]
vA = [pic] 8×101 m.s-1 (ou vA = [pic] 3×102 km.h-1) 2.4. (0,5) À l'altitude h' = 20 000 km, on a [pic]
[pic] = 1,9×103 m.s-1 (ou v0(z) = 6,9×103 km.h-1)
À l'altitude h', la vitesse moyenne ascensionnelle vA est très inférieure à
la vitesse orbitale v0.
2.5.1. (0,25) Pour échapper à l'attraction terrestre, la vitesse de
lancement du satellite (égale à la vitesse du point de l'ascenseur où il se
trouve) doit être au moins égale à la vitesse de libération.
Par lecture graphique de l'intersection des deux courbes du document 2,
l'altitude minimale est de 46000km. 2.5.2. (0,5) D'après la réponse 1.4., à 36 000 km le satellite possède une
vitesse orbitale
v = 3,1 km.s-1.
Le document 2, montre qu'à cette altitude la vitesse de libération est
d'environ vL = 4,4 km.s-1.
L'apport ?EC d'énergie cinétique doit permettre à la vitesse d'augmenter de
la valeur v à la valeur vL.
?EC = ½ .m.vL2 - ½ .m.v2 = ½ .m.(vL2 - v2)
EC = 0,5 × 1,5×103 × [(4,4×103)2 - (3,1×103)2] = 7,3×109 J.
(0,25) Cette énergie peut être communiquée au satellite à l'aide d'un
moteur.
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satellite [pic] [pic] câble Terre