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Modélisation de systèmes linéaires 1. Systèmes linéaires
1.1 Définitions Système :
amplificateur, moteur, mécanisme, combinaison de mécanique et
d'électronique... tout système disposant d'une commande ou d'un signal
d'entrée et restituant une grandeur en sortie.
Système linéaire :
Système dont les grandeurs caractéristiques sont liées par des équations
différentielles linéaires à coefficients constants.
[pic] figure 1
[pic] formule 1
exemple d'équation différentielle d'un système linéaire
Les paramètres a1, a0, b2, b1 et b0 sont constants (ils ne varient pas
avec le temps) et dépendent des éléments internes du système.
L'ordre du système est défini par l'ordre de dérivé le plus haut. 1.2 Système linéaire du premier ordre
Exercice 1 : quadripôle RC [pic] figure 2
1. Trouver la relation entre s(t), e(t), R et C.
2. Montrer que l'on peut mettre l'équation différentielle sous la forme
canonique :
|Forme canonique |[pic] |formule 2 |
|d'un système | | |
|linéaire du premier|? est la constante de temps| |
|ordre |du système (s). | |
1.3 Système linéaire du second ordre
Exercice 2 : quadripôle RLC [pic] figure 3
1. Montrer que [pic] formule 3
2. On pose [pic] et [pic] formules 4 et 5
Mettre l'équation différentielle sous sa forme canonique.
|Forme canonique |[pic] |formule 6 |
|d'un système | | |
|linéaire du second|?0 est la pulsation propre du | |
|ordre |système (rad.s-1). | |
| |m est le coefficient | |
| |d'amortissement (ss dim.). | |
2. Comportement dynamique d'un système linéaire
2.1 Généralités Si on modifie l'entrée d'un système, ce dernier va réagir. La sortie va
varier en passant d'abord par une phase transitoire puis par une phase
d'équilibre. Exemple |Entrée |[pic] |figure|
|ou commande | |4 |
|ou consigne | | |
|Sortie |[pic] |figure|
|Elle s'adapte| |5 |
|plus ou moins| | |
|vite à la | | |
|nouvelle | | |
|valeur | | |
|d'entrée. | | |
Selon que le système soit du premier ou second ordre, le régime
transitoire est différent.
On peut caractériser un système linéaire et déterminer son ordre sans
qu'il soit nécessaire d'établir les équations différentielles.
Pour cela on choisit un signal d'entrée particulier, appelé excitation,
servant à tester ou à modéliser le système.
Une excitation typique est l'échelon tel qu'il est représenté en figure
4. Le signal e(t) passe subitement de 0 à une valeur non nulle. On parle
aussi de saut d'indice.
La réponse de s(t) à un échelon s'appelle une réponse indicielle. 2.2 Réponse indicielle d'un système d'ordre 1
Equation différentielle : voir la formule 2. Conditions initiales : s(0) = 0 ; e(0-) = 0 ; e(0+) = X?.
Solution :
| |[pic] |formule 7 |
Allure : [pic] figure 6
Relevés graphiques :
[pic] figure 7
La solution la plus précise pour relever la constante de temps consiste
à relever l'intervalle de temps mis par le signal s(t) pour passer de
10% à 90% de sa valeur maximum.
|? : constante de temps |[pic] |formule 8 |
|(s) | | |
2.3 Réponse indicielle d'un système d'ordre 2
Equation différentielle : voir la formule 6. Conditions initiales : s(0) = 0 ; e(0-) = 0 ; e(0+) = X?.
Solutions :
Il existe trois solutions différentes selon la valeur du facteur
d'amortissement m.
m > 1 - le système possède un régime de fonctionnement apériodique
amorti.
[pic] figure 8
m = 1 - le système possède un régime de fonctionnement apériodique
critique.
[pic] figure 9
m < 1 - le système possède un régime de fonctionnement oscillatoire
amorti.
[pic] figure 10
Comment distinguer un système du second ordre en régime apériodique d'un
système du premier ordre ?
[pic] figure 11
La tangente à l'origine de la réponse d'un système du second ordre est
horizontale. Ce n'est pas le cas pour la réponse d'un système du premier
ordre. 2.4 Retard pur Dans cette situation s = e mais avec un retard t0 .
| |s(t) = e( t - t0 ) |formule 9 |
[pic] figure 12
Relevés graphiques.
[pic] figure 13
On estime que le régime permanent est établi lorsque le signal ne
dépasse plus ± 5% de sa valeur finale. 3. Transformation de Laplace
3.1 Introduction La manipulation d'équations différentielles peut devenir très vite
laborieuse.
La transformation de Laplace permet de résoudre plus facilement les
équations d'un système car dans le domaine de Laplace les dérivées et
les intégrales deviennent des produits et des fractions.
La résolution du système revient alors à trouver les racines d'un
polynôme.
| |[pic] |formule 10 |
| |[pic] est la variable | |
| |complexe | |
Dérivation
| |[pic] |formule 11 |
Intégration
| |[pic] |formule 12 |
Echelon de tension | |[pic] |formule 13 |
Voir le cours de mathématique pour plus d'informations. 3.2 Fonction de transfert de Laplace d'un système du premier ordre
Exercice |On pose |[pic] |formules 14 |
1. Ecrire l'équation de Laplace correspondante à l'équation
différentielle [pic].
2. En déduire la fonction de transfert ou transmittance du système :
| |[pic] |formule 15 |
3. Remplacer [pic]par son expression (formule 11) et exprimer [pic]. 3.3 Fonction de transfert de Laplace d'un système du second ordre
Exercice 1. Ecrire l'équation de Laplace correspondante à l'équation
différentielle :
[pic]
2. En déduire la fonction de transfert du système : [pic] 4. Nécessité des systèmes en boucle fermée.
4.1 Insuffisance des systèmes en boucle ouverte
Exemple A partir d'une commande en tension ve, on souhaite contrôler la vitesse
de rotation ?S d'un moteur à courant continu selon la relation [pic]. Ce
contrôle se fait par l'intermédiaire de la tension d'alimentation Ua.
| |[pic] |figure 14 |
Plusieurs phénomènes vont perturber le système : frottement, pertes par
effet joule, ...
Par exemple si la charge entraînée par le moteur varie, du fait des
pertes par effet joule la vitesse de rotation va légèrement varier sans
que la commande ve change.
|Le système en boucle ouverte manque donc de fidélité ou de précision. | 4.2 Système en boucle fermé On réalise un système en boucle fermée en soustrayant de la grandeur de
commande vc une grandeur v? qui dépend de la grandeur de sortie.
Le système est décrit par un schéma bloc.
| |[pic] |figure |
| | |15 |
|Le système en boucle fermée permet de limiter les influences des |
|perturbations. |
Supposons en effet que, la grandeur de commande vc étant constante, une
perturbation provoque une diminution de la vitesse de sortie ?s.
La chaîne de retour fait alors apparaître une diminution de la grandeur
de retour v?.
La grandeur d'entrée va donc augmenter et la vitesse également. Elle va
augmenter jusqu'à ce que la tension [pic] s'annule.
Remarquer que ce résultat est obtenu sans qu'il soit nécessaire de
connaître l'origine de la perturbation. 4.3 Précision des systèmes bouclés. La tension ve étant la différence de deux grandeurs qui tendent à
s'équilibrer, elle va être très petite. Pour avoir une bonne précision
il faudra donc l'amplifier suffisamment. Précision : un système est dit précis si la sortie suit l'entrée en
toutes circonstances. Elle est donnée par la valeur de
l'erreur (ou de l'écart) , par rapport à des entrées données,
une fois le régime transitoire passé. Parmi les critères de précision, on peut distinguer :
Ecart : c'est la différence entre la valeur souhaitée et la valeur
effectivement obtenue.
Rapidité : un système a une rapidité satisfaisante s'il se
stabilise a son niveau constant en un temps jugé
satisfaisant. Elle caractérise la facilité du système à
suivre des variations rapides de la consigne. Elle est liée
à la bande passante du système. Temps de réponse : c'est le temps mis pour atteindre 95 % de