HEBERT Damien : 4,5

Université de Rouen - Haute Normandie
Année universitaire 2008 - 2009
L3 MPM - Physique Physique statistique
17 avril 2009
Examen
Durée : 2 heures - Documents non autorisés - Calculatrice autorisée PROBLEME On considère un tube de grande longueur L par rapport à son diamètre D
rempli d'azote moléculaire assimilé à un gaz parfait. Le milieu est à
l'équilibre et la température, la pression et la densité de molécules sont
parfaitement homogènes dans tout le tube. [pic]
On introduit au temps t=0 de l'hydrogène H2 en x=0 avec un débit constant
suffisamment faible pour que la pression ne soit pas modifiée et que
l'azote ne s'écoule pas.
A t=t1, la valeur du débit d'hydrogène en x=L n'est plus nulle et croît
jusqu'à atteindre la valeur du débit d'entrée. 1. S'agit-il d'un état stationnaire ? S'agit-il d'un état d'équilibre
thermodynamique local ? S'agit-il d'un état d'équilibre total ? On fait l'hypothèse a priori que le gradient de densité est uniforme soit
[pic], A étant une constante et n la densité de particules. 2. Donner l'expression de la densité en une abscisse x en fonction de la
densité en x=0 et en x=L. Le débit d'hydrogène est suffisamment faible pour que la densité d'azote
reste constante. 3. Ecrire l'équation de Boltzmann en explicitant chacun des termes.
4. Réécrire l'équation de Boltzmann dans le cadre du modèle de Bhatnagar-
Gross-Krook.
5. Quelle est la signification physique du temps de relaxation introduit
?
Dans la suite, le temps de relaxation est supposé constant.
6. Simplifier l'équation de Boltzmann en faisant des hypothèses
réalistes.
7. En faisant un bilan de particules sur un petit élément de volume Sdx,
où S est la section du tube, donner l'expression du vecteur densité de
flux de particules en un point d'abscisse x.
8. En couplant l'expression du vecteur densité de flux et l'équation de
Boltzmann simplifiée, exprimer le vecteur densité de flux en fonction
du gradient de densité, du temps de relaxation et de la vitesse
moyenne d'agitation thermique (valeur moyenne de la norme des
particules).
9. Enoncer la loi de Fick de la diffusion. Par identification avec le
résultat de la question 8, donner une expression du coefficient de
diffusion D.
10. Donner des ordres de grandeur pour le temps de relaxation et la
vitesse moyenne des particules pour une température de 300 K. Donner
un ordre de grandeur du coefficient de diffusion D et son unité.
11. Reprendre le bilan local du nombre de particules et intégrer ce bilan
sur l'ensemble du tube. Donner une valeur pour le terme de production,
pour le terme de variation et le terme de flux.
12. Montrer que le vecteur densité de flux est indépendant de x. Compte
tenu de ce résultat, montrer que le gradient de densité est
effectivement indépendant de x lui aussi.
Données :
. Constante de Bolztmann : k=1,38.10-23
. Nombre d'Avogadro : NA=6,02.1023
. Masse molaire de l'hydrogène : 2 g/mol
. Masse molaire de l'azote : 28 g/mol
. Intégrales eulériennes
[pic]
QUESTIONS DE COURS 1. Donner votre interprétation du théorème H de Boltzmann.
2. Ecrire l'équation de Vlasov pour un plasma. Expliciter le terme de
force. Pourquoi dit-on que le plasma est "sans collision" ?