series, series entieres, series de fourier. - Pagesperso-orange.fr

III- SERIES, SERIES ENTIERES, SERIES DE FOURIER. Objectifs:
- Approfondir l'étude des séries de nombres réels ou complexes;
comparaison à une intégrale, produit de Cauchy.
- Etudier les propriétés élémentaires des séries entières et des séries de
Fourier.
- Exploiter la représentation des fonctions par des séries entières ou des
séries de Fourier pour l'étude de fonctions définies comme solutions d'une
équation, en relation avec l'enseignement des autres disciplines
scientifiques.
1. Séries de nombres réels ou complexes. a) Comparaison d'une série à une intégrale. Théorème: (Comparaison d'une série de nombres réels positifs à une
intégrale) étant donnée une fonction f continue par morceaux sur [0,+ ?[ à
valeurs réelles positives décroissante, la série de terme général wn=[pic]
est convergente.
Théorème: En particulier la série [pic]converge si et seulement si f est
intégrable sur [0, +?[.
Proposition: 0 ( wn =[pic]( f(n-1) - f(n).
Proposition: si la série converge alors [pic]f(x) = 0 et si Rn est le
reste, 0 ( [pic]-Rn ( f(n)
Proposition: un encadrement analogue peut être obtenu lorsque f est
croissante.
Proposition: Si f est C1 , une intégration par parties permet d'écrire wn
=[pic]
Théorème: Equivalent de n! ( nn e-n [pic] (formule de Stirling).
Remarque: La démonstration de la formule de Stirling n'est pas exigible des
étudiants.
§ Exemple: encadrement du reste d'une série convergente, pour une série de
nombres réels positifs. encadrement des sommes partielles d'une série
divergente.
exemples: de recherche de valeurs approchées de la somme d'une série
convergente. Exemple :
Etudier les séries de termes généraux: un= [pic]. On suppose n >1. Si (>1, n( un =[pic](0 donc la série est CV.
Si ( =1, la série est DV car la série est de même nature que l'intégrale de
[pic] sur [2, +([
Or [pic] (u=ln(t)) et la fonction 1/u n'est pas intégrable sur [ln2, +([
.
Si 0(( 0
Alors f est de classe C? sur ]-R.R[. Et ( k?1 Dkf s'obtient par dérivation
terme à terme.
Théorème: En particulier, pour tout entier k positif ou nul,[pic].
Théorème: Si de plus, la série [pic] converge pour t = R, (resp pour t =
-R), la somme de la série est continue sur [0 , R] (resp [ -R , 0])
résultat admis.
Définition Une fonction f est développable en série entière sur un
intervalle ]-r, r[, où r > 0 si et ssi il existe une série entière [pic] de
rayon de convergence R ? r et telle que [pic]= f(t).
Définition Si f est C? sur un intervalle ]-r, r[, où r >0, la série de
Taylor de f est [pic].
Théorème: Si f est développable en série entière et est C? sur un
intervalle ]-r, r[, alors son développement en série entière (D.S.E.) est
son développement en série de Taylor.
Proposition: Développement en série de Taylor de [pic] où z est complexe,
de sin t, de cos t.
Proposition: Développement de ln(1+t), de [pic]où ? est réel.
Méthode: mettre en valeur l'emploi de séries entières et de séries de
Fourier pour la recherche et l'étude de solutions d'équations
différentielles.
Exemple 1 : Montrer que [pic]= ln 2
On sait que sur ]-1,+1[ , ln(1+x) =[pic]. Sur [0,1] la série est alternée
et le module du TG tend vers 0 en décroissant donc (cf théo spé alterné) le
reste vérifie |Rn| ( xn/n ( 1/n (0
La série entière CV uniformément sur [0,1] donc elle est continue sur
[0,1].
Conclusion : ln(1+1) = [pic] c'est à dire [pic] = ln 2 Exemple 2 : Développer en séries entières f(z)=[pic] (rayon de
convergence ?)
Les 2 polynômes 1+z2 et 1-z3 sont des polynômes premiers, on peut donc
écrire (cf identité de Bezout)
f(z) = [pic] = [pic]+[pic] avec a i +b = 2[pic]=(1-i) donc a= -1 , et b =
1.
De même c+d+e = 1 et c j2 +d j +e = 2[pic]= -2 j2 = 2+2 j d'où (d-c) j+ (e-
d ) = 2 + 2 j
On en tire d = c + 2 = e donc 3c +4 = 1 soit c = -1 et d = e = 1.
Finalement, sur ]-1,+1[, f(z) =[pic] + [pic]= (1-z)[pic] + (1+z-z2)[pic]
soit f(z) = [pic] avec a6k = 2 , a6k+1 = 0, a6k+2 = 0, a6k+3 = 0,
a6k+4 = 2, a6k+5 = -2.
Pour z=1, le terme général ne tend pas vers 0, donc le rayon de CV est R=1. Exemple 3 : On pose f(x) = [pic] pour x ? 0. MQ'on peut prolonger f en une
fonction C? sur R. Calculer alors les dérivées nièmes en 0.
On sait que arctan x = [pic] avec un rayon de convergence R = 1.
On peut donc affirmer que pour tout x ? 0 et |x| 1-0 dans R.
Ex6*Développer en séries entières les fonctions suivantes (rayon de
convergence ?)
a] f(z)=[pic] b] f(z)= [pic] c] f(x)=[pic]
d] f(x)=[pic] e] f(x)=[pic] f] f(x)= [pic] où t ? ]0,?/2[
Ex7** MQ [pic]= ln 2 et que [pic]
Ex8**On pose f(x)= [pic] pour x ? 0, MQ on peut prolonger f en une fonction
C? sur R. Calculer alors les dérivées nièmes en 0.
Ex9**Quel est le domaine de convergence des séries suivantes?
a] [pic] b] [pic]. c] [pic] d] [pic]
e] [pic] f] [pic] g] [pic] h] [pic]
i] [pic] j] [pic]
Ex10*On donne l'équa-diff (E) : (1+x2).y''-2y=0. Déterminer les
solutions de (E) développables en séries entières. Calculer les
coefficients puis calculer la somme de ces séries entières.
Ex11**MQ la fonction f définie par f(x)=[pic] est solution d'une équa-diff
linéaire (E). Déterminer les solutions de (E) développables en séries
entières. En déduire le DSE de f.
Quelques développements en séries entières indispensables
x ( R, z( C
[pic] = 1-z+z2-z3+........+(-1)n z