_TEST d'analyse numérique du 5 décembre 1997

Conservatoire National des Arts et Métiers
292 rue Saint-Martin - 75141 PARIS Cedex 03
Spécialité Mathématiques Chaire de CALCUL SCIENTIFIQUE Date de l'examen : mardi 20 avrilde 18h à 21h
TITRE de l'ENSEIGNEMENT :
Mathématiques du Signal (code MAA 107) Nature de l'enseignement : cours
Nombre de pages : 2
Nom du responsable : Nelly Point Année universitaire : 2009/2010
2ème SESSION Documents autorisés : TOUS DOCUMENTS AUTORISÉS (polycopié, livres, notes
manuscrites et formulaires)
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_____________ Les exercices peuvent être traités indépendamment mais certains résultats
sont corrélés Exercice 1 (8 points) Transformée de Fourier, dérivation des
distributions
Soit g la fonction définie par :
[pic]
1) Faire un tableau avec les valeurs de g et de sa dérivée g' selon les
intervalles. Tracer le graphe de la fonction g et en dessous le graphe de
g'. Y a-t-il des symétries ?
2) Pourquoi peut-on calculer la transformée de Fourier de g au sens des
fonctions ?
Que peut-on dire a priori de cette transformée de Fourier ?
3) Calcul direct .
Ecrire l'intégrale définissant la transformée de Fourier F(g)(?) (mais on
ne la calculera pas) .
4) Calcul en passant par les distributions
Pourquoi la fonction g peut-elle définir une distribution régulière ?
Quel est le lien entre F([g]) et F(g) ?
Calculer [g]' et [g]" de la façon la plus simple possible. En déduire
F([g]") puis F([g]) .
Déduire de ce qui précède l'expression de F(g)(?).
Cette l'expression de F(g)(?) a-t-elle bien toutes les propriétés annoncées
au 1) ?
Quelle est la limite de F(g)(?) lorsque ? tend vers 0. Retrouver ce
résultat d'une autre façon.
5) Calcul par l'intermédiaire des tables
Monter que g s'exprime à l'aide de la différence de 2 fonctions triangles
et en déduire F(g).
Rappel :
[pic] est la fonction triangulaire de base de longueur 2a et telle que
[pic] et on a :
[pic]
Exercice 2 (6 points) Séries de Fourier.
Soit h la fonction de période 4 égale à la fonction g de l'exercice 1).
Tracer le graphe de h .
1) Expliciter la relation entre les coefficients cn de la série de Fourier
complexe de h et la transformée de Fourier du motif g. En déduire les
valeurs des cn.
2) Calculer les coefficients de la série de Fourier trigonométrique de h
(soit en utilisant le 1) soit en faisant un calcul direct). Exercice 3 (6 points) Distributions, convergence
1) Tracer le graphe de la fonction G définie ci-dessous.
[pic]
Pour quelles valeurs de x la fonction G est-elle nulle? Que vaut G(0) ?
Parité de G ?
2) Soit Gn la fonction définie par : Gn (x)
= n G(nx)
Que vaut Gn(0) ?
Pour quelles valeurs de x la fonction Gn est nulle. Préciser le support de
Gn , vers quoi tend ce support lorsque n tend vers l'infini. Tracer sur un
même graphe G=G1 et G2 .
On admet que [pic]. En déduire que [pic] est égale à une constante
indépendante de n que l'on précisera.
3) Chercher la limite de la suite de distributions [Gn].
(Dites d'abord vers quoi vous pensez que cela converge puis démontrez le
rigoureusement)
4) Soit fn (x) = G'n (x), montrer que fn (x) =n2 g(nx) où g est la
fonction de l'exercice 1, puis tracer les graphes des fonctions f1 et f2
Quelle est la relation entre les distributions [fn] et Gn].? En déduire,
sans calculs, la limite de la suite de distributions [fn] connaissant
celle de la suite des [Gn] (grâce au 3) .