Exercice n°1 : Flexion d'une poutre en béton précontraint

Université de Rennes 1 Janvier 2004
EXAMEN DE RESISTANCE DES MATERIAUX Licence de Technologie Mécanique
Durée de l'épreuve : 3 heures
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La calculatrice est autorisée. Exercice n°1 : Flexion d'une poutre en béton précontraint
On considère une poutre en béton précontraint, de section carrée (de
largeur a) et de longueur L, montée sur deux appuis A et B. Le poids de la
poutre n'est pas négligé, on le représentera par une charge répartie
uniforme linéique p.
Cette poutre est en béton précontraint : il existe un système de câble
interne (schématisé ci-dessous en grisé), lié aux bords, qui met la poutre
en compression, pour lui conférer une meilleure tenue en chargement.
Le but de l'exercice sera de déterminer quelle force de précontrainte
F0 il faut établir dans la poutre, pour que cette dernière ne travaille
qu'en compression. 1- Donnez le torseur des efforts intérieurs en un point G d'abscisse x, le
long de la poutre.
2- Où se situe la section la plus sollicitée le long de la poutre ?
Justifiez. S'il n'y avait pas de force de précontrainte F0, comment
évoluerait la contrainte normale dans cette section ?
3- On souhaite que toutes les sections de la poutre, en particulier la plus
sollicitée, soient en compression de façon à éviter la fissuration du
béton. Quelle valeur doit prendre la précontrainte F0 pour que la poutre
ne travaille qu'en compression. Exercice n°2 : Torsion d'un axe.
Un axe est composé de deux éléments : un cylindre AB en alliage
d'aluminium (G=28 GPa), et un cylindre BC en acier (G=84 GPa). La région AB
est un cylindre plein de diamètre 45 mm, la région BC est un tube de
diamètre extérieur 60 mm et de diamètre intérieur 30 mm. Les deux éléments
sont solidaires l'un de l'autre, et les extrémités A et C sont encastrées.
Un moment de torsion de 4000 N.m est appliqué en B. 1- Déterminer la contrainte de cisaillement maximale dans chaque région ?
2- Quel est l'angle de torsion en B ? Exercice n°3 : Poutre coudée à angle droit
On considère une poutre encastrée en A et subissant une force F en son
extrémité B. Le but de l'exercice est de connaître le déplacement de B
suivant x, et la rotation de la section B. 1- Déterminez le torseur de cohésion en un point G de la poutre AB.
2- Dans une première étape, on cherche le déplacement suivant x du point B,
par l'emploi du théorème de Castigliano. Dans ce but, exprimez l'énergie
de déformation de la structure (on ne tiendra compte que des termes liés
au moment fléchissant, les autres étant négligeables). Déduisez alors le
déplacement de B suivant x.
3- Quel paramètre supplémentaire faut-il introduire pour pouvoir déterminer
la rotation de section en B par le théorème de Castigliano ? On procédera
de façon identique à la question 2- pour déterminer la rotation de la
section B. Exercice n°4 : Un tube d'une nuance d'acier (E=200 GPa ; (e=250 MPa) est utilisé
comme colonne de support (ses extrémités sont encastrées, la colonne subit
une compression). Le tube a pour longueur 7 m, pour rayon extérieur 7,6 cm
et pour rayon intérieur 6,9 cm.
Déterminez la charge maximale tolérable par la poutre. Justifiez.