Matière d' Analyse I pour l'examen de juin (second ... - ULB

Matière A VOIR au cours Analyse 1, au 1er quadrimestre 2008-2009.
première approximation basée sur 2007/08, ecriture abregee et (souvent)
sans accents.
Matiere entre { }= donnée pour information, ne fait pas partie de la
matière d'examen
Matiere entre [ ]= non donnée
sm= semaine m ; hn= heure n.
Document NON officiel, mis a jour le 7 nov 2008.
s4:- 7oct08-------------------------------------------------------
*h1: Plan de cours abrégé, presentation du service, secretariat du service
en UA5,
Valves d'analyse 1 en UA6.
Permanences d'analyse par Jean-Luc MICHEL les lundis à partir de 13h au
UA6.212,
guidances de maths en BA1 les mardis & jeudis à partir de 12h30 au UA6.118A
par Amaury, Julien, Mathieu, Jonathan et Bernard.
Responsable coordination exercices et permanences: Jean-Luc MICHEL.
{Quelle formation pour les Ir par Y. Le Tallec}
{*pq les maths?, introduction au cours, Modelisation (et "ceci n'est pas
une pipe")}
*Comment etudier?: au fur et a mesure, en s'accrochant, en se posant des ?
et en en posant aux autres (condisciples, etudiants-assistants, assistants,
aux guidances, permanences, seances d'ex., cours)
Ne pas attendre d'avoir bcp de questions pour aller aux guidances !!!
Ne pas paniquer ,ne pas desesperer, meme si impression d'etre depasse,
perdu,
Ne pas se laisser bercer par des mots familiers, des dessins semblant
clairs (si le dessin semble clair, etes-vous capables d'expliquer le tout
en mots, correctement, avec precision?) Attention: c'est un exercice
difficile, auquel vous etes en general peu entraines, ...et c'est crucial
pour réussir les examens!
Le cours:
Chap. 1: (1.2) rationnels, réels, R_0, R^+
(1.4, 1.5) intervalles et demi-droites, ens. connnexes ds R , R complété
(1.1) inégalites et +,-,*
(1.6, 7, 8) majorants, sup et max, minorants, inf et min.
(1.9) Valeur absolue et inégalite triangulaire (aussi si n termes,
aussi en nD)
*h2: ensemble borné dans R, supremum et infimum (=borne inf) (ds R
seulement!!!)
Chap. 2: (2.3) lim f(x) pour x->infini (déf. avec epsilon...)
-s5 14oct08--------------------------------------------------------
*h3: (2.4.1) déf. de limite d'une suite réelle dans R (avec epsilon...).
Ex. des suites dont on peut prouver la conv. en termes de epsilon, N.
Négation de u_n -> l en termes de epsilon, N ("u_n" signifie "u indice n")
(au tableau)
(2.4.2) déf. de limite d'une suite dans R complété, exemples.
(2.4.4) suite conv. ds R => bornée (dem),
(si A non bornee superieurement ds R, supA:= +infini)
Rem. : pour une suite croissante: pas bornee conv. vers l'infini .
(2.4.5, 6) toute suite croiss. (bornee ou non) conv. vers son sup (dem si
bornee), application (=exemple lié à la série de la somme des inverses de
factorielles), ne pas se fier au comportement des tout 1ers termes: ex:
{limite nulle de la suite des mesures des boules unités en dim n)}.
*h4: (2.7 & ConFond) règles de calcul des lim. de suites: (2.7.5) y
compris:
v_n est non nul pour presque tout n dès que lim v_n est non nulle (dém).
(2.7.6) Justification de l'usage de la regle de l'Hospital pour des suites
(discrètes) (=suites de nbs, plutôt que des fcts d'une variable réelle!).
(2.8.1) comportement asymptotique de suites: équivalence ~, o, O.
Comparaison entre quotient ->1 & différence->0 (dem).
(2.8.3) Complexite d'algorithmes (ex:algorithme d'Euclide pgcd(n,m),
algorithme pour multiplier matrices nxn,...).
s6: 21oct08---------------------------------------------------------------
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*h5: Tout "o(v_n)" est un "O(v_n)".
(2.8.4) ~,o,O pour les fcts d'une variable réelle
(2.8.6 I & IV) Droites & courbes asymptotes (dem. d'une CN non S )
{(2.7.8) suite de Fibonacci & application au nb de manières de gravir un
escalier par pas simples ou doubles}. (2.9.3) suite partielle, queue de
suite.
Si une suite conv., alors toutes ses suites partielles conv. vers la même
limite,
(donc si 2 suites partielles ont des limites différentes, alors la suite ne
peut pas conv.)
(2.10.1) croissance exponentielle, {croissance logistique}
*h6: (2.10.2) limsup:= lim des sup de queues de suites, cette suite de sup
de queues de suite est décroissante, d'où l'existence de limsup (dans R)
d'une suite bornée; (limsup=+infini ssi suite non bornée supéreurement) ;
liminf:=... , (liminf = -infini ssi suite non bornée inféreurement).
(2.10.4) limsup= plus grande limite de suite partielle.
Extrait du chap. 1 (utile pour 2.12,13,etc...):
(1.10) boule ouverte, boule fermée, sphère en dim n .
(1.11) pt intérieur, intA, pt adhérent, adhA, pt frontière, frA. [(pas vu:
pt d'accumulation)]
(1.13) ouvert, fermé. NB: F est fermé ssi la lim de tte suite conv. de pts
de F est ds F.
On prouve que: toute boule ouverte est ouverte, donc égale à son intérieur,
mais l'intérieur d'un cercle (au sens topologique) est vide! ...
s7: (4nov08)------------------------------------------------------
*h7: retour au Chap. 2: (2.11): lim f(x) pr x->a (définition, exemples)
(2.11.5): lim à gauche ou à droite,
(2.11.6): lim f(x) pour x->a & lim de suites f(x_n) pour x_n->a.
(2.12.1): Fct continue en un pt (de son dom.), discont. élimin., de 1ère
espèce, de 2de espèce.
(2.12.3,4): continuite & f lim.
(2.12.2) sin(1/x) est continue s/(R_0), mais ne peut pas être prolongée en
une fct continue s/R.
*h8: (2.13): ~, o(g(x)), 0(g(x)) pour x->a,
x^n= o(x) pour n>1 & x->0 (termes prédominants dans polynôme en x-a pour x-
>a)
(2.14): lim de sommes, produits, composées de fcts,
continuité des sommes, produits, composées de fcts. Fct élémentaire (déf).
(2.15): fct monotone. Fct strictement monotone =>injective, réciproque
fausse!
Si f est croissante: lim f(x) (pr x->a, xa,x