1) Nécessité du traitement antireflet sur la face de sortie de ... - Free

Durée 1h 50 ;
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La calculatrice est autorisée ;
En cas d'une éventuelle erreur d'énoncé, l'élève corrige de lui-même ce
qu'il considère comme étant une erreur. Dans ce cas, il devra préciser les
raisons de cette rectification dans sa copie.
Position du problème : Soit un système constitué de plusieurs lentilles faites dans le même verre,
d'indice optique n=1,5. La face d'entrée de chaque lentille a subi un
traitement antireflet par dépôt d'une couche d'un matériau d'indice N =
1,35. La face de sortie n'est initialement pas traitée. L'indice de l'air,
sera noté n air et sa valeur, utilisée seulement pour les applications
numériques, sera prise égale à 1.
Lors d'une réfraction milieu 1 vers milieu 2, n1 [n2] désigne l'indice du
milieu 1 [respect. milieu 2 ].
RE désigne le coefficient de réflexion en énergie à l'entrée de chaque
lentille. RS : même chose, mais à la sortie.
On fera les hypothèses suivantes : Toutes les lentilles sont centrées sur le même axe, appelé axe principal
optique ;
La lumière se propage de gauche à droite ;
L'étude se fera sous incidence normale, et au voisinage de l'axe
principal ;
La lumière utilisée est monochromatique pour tous les calculs, mais le cas
polychromatique sera envisagé dans le problème ;
On supposera a priori que le produit t1 . t1' =1 (la vérification de ce
résultat a posteriori sera demandée dans la copie) ;
On suppose que l'onde est plane.
1) Nécessité du traitement antireflet sur la face de sortie de chaque
lentille
On considère tout d'abord une seule lentille, plus particulièrement la
face de sortie de celle-ci, donc non traitée. Lorsqu'il existe une onde réflechie et une onde transmise, on peut définir,
pour l'énergie lumineuse, un facteur de réflexion R et un facteur de
transmission T.
Lors d'une réfraction à travers un dioptre, et dans le cas particulier de
l'incidence normale, R est donné par : [pic], qui est la formule de
Fresnel. 1.1) Sous incidence normale, et pour la face de sortie d'une lentille,
déduire de ce qui vient d'être énoncé le facteur de transmission en énergie
correspondant, soit T, en fonction de n1 et n2 (dans la formule, on prendra
pour n1 et n2 les indices qui correspondent au cas envisagé). Quelle
hypothèse faut-il faire pour que le calcul soit correct ? [ 1,5 pts ] 1.2) Calculer le coefficient de réflexion en énergie à la sortie, noté RS,
de chaque lentille. [ 1 pt ] 3) Calculer le facteur de transmission total du système, que l'on notera
T1, dans le cas ou il y a 15 lentilles en tout. On prendra R E = 0,85
%.
[ 1,5 pts ] 1.4) Quelle nouvelle valeur T2 prend ce facteur de transmission si les deux
faces présentent le même coefficient de réflexion en énergie, soit R E ?
[ 2 pts ]
2) Calcul de R S après traitement
On décide de traiter « antireflet » la seconde face de chaque lentille. On
fait l'étude sur une lentille, dont le rayon de courbure sur la face de
sortie est tel que l'on pourra supposer la face de sortie plane. On dépose
sur celle-ci une couche d'un milieu transparent d'indice N, avec nair (=1)
< N < nverre [nverre est l'indice du verre constituant la lentille]. 2.1) L'amplitude initiale de la vibration incidente (on se place à
l'intérieur de la lentille) est A. Faire un dessin sur lequel figurent,
avec leurs amplitudes respectives, le rayon directement réfléchi (à
l'intérieur du verre), et noté 1 , celui qui subit une réflexion sur le
dioptre mileu intermédiaire-air, noté 2 et celui qui est transmis dans
l'air, noté 3.
[ 1 pt ] 2.2) Rappel : sous incidence normale, et lors d'une réfraction d'une onde
lumineuse, une partie de l'onde incidente est réfléchie. On appelle r le
coefficient de réflexion en amplitude de l'onde incidente. r est défini par
[pic].
Calculer les coefficients de réflexion en amplitude sur les dioptres verre-
milieu intermédiaire, que l'on notera r1, et milieu intermédiaire-air, soit
r'1.
[ 1 pt ] 2.3) Le coefficient de transmission en amplitude, lors du passage d'un
milieu 1 à un milieu 2 est donné par : [pic]. On notera t1 le coefficient
de transmission en amplitude lors de la réfraction verre milieu
intermédiaire, t1' celui correspondant à la réfraction milieu intérmédiaire-
verre et t2 celui correspondant à la réfraction milieu intermédiaire-air. Calculer t1 , t1' et t2. [ 1,5 pts ]
2.4) On veut que la superposition de 1 et 2 produise des interférences
destructives. Quelle condition doivent respecter les amplitudes de 1 et 2, donc r1 et
r1'?
Proposer une hypothèse, que l'on vérifiera a posteriori, qui permet de
déduire N en fonction de nair et nverre .
[ 1,5 pts ] 2.5) Calculer l'expression de N en fonction de n air et n verre. [
1 pt ] 2.6) Soit e l'épaisseur de la couche déposée sur la face de sortie.
Calculer l'épaisseur minimale donnant lieu à des interférences destructives
par réflexion en fonction de N et ?0.
[ 2 pts ]
2.7) Application numérique nair = 1 ; nverre.= 1,5 ; ? = 0,55 µm (jaune-
vert).
Calculer numériquement r1 et r'1, t1, t'1 et t2 , les amplitudes
respectives de 1 et 2 et la valeur numérique théorique de N. On vérifiera
que les hypothèses faites précédemment sont justifiées.
[ 3 pts ] 2.8) En réalité, on ne dispose pas de matériau avec une telle valeur
d'indice. On s'en approche avec des matériaux naturels comme le fluorure de
magnésium MgF2 (N = 1,35) Calculer dans ce cas l'épaisseur minimale e
permettant de diminuer au mieux les reflets, ainsi que la valeur effective
de RS. [ 2 pts ] 2.9) Que se passe-t-il pour les autres longueurs d'onde du visible, et
qu'observe-t-on, en particulier en lumière blanche , en transmission ? et
en réflexion ? (coloration)
[ 1 pt ]
Fin du sujet