Representation d'état (extraits du site web)

Representation d'état (extraits du site web) | |
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|1- 4 Les équations d'état |
|D'une manière générale, à tout système linéaire, causal et continu |
|peuvent être associées les équations matricielles suivantes : |
|[pic] |
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|Dans le cas d'un système stationnaire, les matrices A,B,C et D sont |
|indépendantes du temps. Ce cas seul sera examiné par la suite. |
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|-A est appelée matrice d'état du système. |
|- x est appelée vecteur d'état du système. |
|- e est appelée vecteur d'entrée du système. |
|- s est appelée vecteur de sortie du système. |
|Remarque : Dans le cas d'un système discret, ces équations prennent|
|la forme suivante: |
|[pic] |
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|1-5 Equation de transition : Résolution de l'équation de |
|transition d'état |
|Nous cherchons à résoudre l'équation d'état précédemment introduite|
|et qui s'écrit dans le cas général : |
|[pic] |
|Le cas des équations différentielles matricielles se traite de |
|manière similaire au cas scalaire. L'équation homogène associée |
|s'écrit : |
|[pic] |
|Sa solution est exponentielle et vaut : |
|[pic] |
|Où t = t0 est l'instant initial. |
|La résolution avec second membre s'effectue comme dans le cas |
|scalaire : |
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|[pic] |
|[pic] |
|[pic] |
|[pic] |
|[pic] |
|[pic] |
|[pic] |
|= |
|[pic] |
|+ |
|[pic] |
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|Etat à l'instant t |
| |
|Solution du régime libre (e=0) |
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|Contribution des entrées (convolution) |
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La stabilité de l'état est donc conditionnée par celle de la matrice
[pic]appelée matrice de transition d'état. On montre que [pic]converge si
et seulement si les valeurs propres de la matrice A sont à partie réelle
strictement négative. En examinant le lien entre les matrices [A;B;C;D] et
la fonction de transfert du système, on retrouvera ce résultat et on
insistera sur le rôle joué par les valeurs propres de la matrice d'état A.
Sur le plan numérique, le problème réside dans le calcul de la matrice de
transition d'état [pic].
2-1 Equations d'état et fonctions de transfert
Les systèmes linéaires et stationnaires sont généralement décrits par
leur fonction de transfert (transformée de Laplace de la réponse
impulsionnelle). Pour être à même de transposer les propriétés utilisées
dans le domaine de Laplace au cas des représentations d'état, il est
nécessaire d'établir le passage d'une représentation à l'autre.

|On considère un système (S) décrit par sa représentation d'état |
|[pic] |
|On se restreint au cas d'un système à une entrée et une sortie. |
|Exprimons la fonction de transfert H(p) du système en fonction des |
|matrices A,B,C et D. |
|[pic] |
|En prenant les T.L. des équations d'état et de sortie, on obtient : |
|[pic] |
|en supposant les conditions initiales nulles. |
|Soir encore : |
|[pic] |
| |
|Finalement |
|[pic] |
|Remarque : En substituant à l'inverse sa définition, il vient : |
|[pic] |
| où |
|[pic] |
|Les pôles de la fonction de transfert correspondent aux zéros de |
|[pic]qui est aussi le polynôme caractéristique de la matrice d'état A. |
|Par conséquent, les pôles de H(p) sont les valeurs propres de la |
|matrice d'état A. |
| | | | 2.2 Formes standard (canonique) | |
|Considérons un système d'écrit par sa fonction de transfert. Il est |
|possible de construire très simplement des représentation d'état de ce |
|système en le décomposant en sous-systèmes élémentaires : des systèmes |
|d'ordre 1 mis en série ou en parallèle. |
|On considère le système de fonction de transfert: |
|[pic] |
|Dans un premier temps, il est plus simple de raisonner sur le système |
|sans numérateur : |
|[pic] |
|avec |
|[pic] et [pic] |
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|2.2.1 La forme compagne pour la commande |
|Le système est vu comme une mise en série d'intégrateurs purs. A partir|
|de l'expression de la fonction de transfert H(p), on retrouve aisément |
|l'équation différentielle associée au système : |
|[pic] |
|et |
|[pic] |
|ceci conduit à la représentation schématique de la figure 2. |
|On choisit comme variables d'état les sorties des systèmes |
|élémentaires, c'est-à-dire les dérivées successives de la sortie. La |
|représentation d'état obtenue est dite sous forme compagne pour la |
|commande ; elle s'écrit (si m < n) : |
| |
|[pic] [pic] |
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|[pic] |
|Figure 2: Interprétation d'un système complexe sous la forme d'une mise|
|en série d'intégrateurs purs |
|Remarques |
|- Si [pic]alors [pic] |
|-Toute l'information relative au dénominateur de la fonction de |
|transfert est mémorisée dans la matrice d'état A. |
|-Toute l'information relative au numérateur de la fonction de transfert|
|est mémorisée dans les matrices C et D. |
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|2.2.2 La forme modale |
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|Le système est vu comme une mise en parallèle de systèmes d'ordre 1. |
|Pour mettre en évidence cette représentation, il su±t de décomposer la |
|fonction de transfert