TD1 : Exercices de statistiques descriptives

TD1 : Exercices de statistiques descriptives
A- Statistiques descriptives unidimensionnelles Exercice 1 : Soit x une série statistique. Démontrer la formule de Koenig
pour la variance : [pic]. Exercice 2 : Soit une série statistique de taille n, classée suivant la
partition [pic]. On note[pic]respectivement l'effectif, l'effectif cumulé
et l'amplitude de la classe [pic]. Soit [pic] la première classe contenant
au moins 50% des effectifs cumulés. Démontrer que l'on peut approcher la
médiane par interpolation linéaire : [pic]. De façon analogue, trouver des
formules approchées pour les premier et troisièmes quartiles. Exercice 3 : Au poste de péage, on compte le nombre de voitures se
présentant sur une période de 5mn. Sur 100 observations de 5mn, on
obtient les résultats suivants :
|Nombre de |1 |
|voitures | |
|510 |4 |
|590 |3 |
|900 |2 |
|1420 |1 |
|2000 |0 |
|600 |5 |
|850 |6 |
|1300 |7 |
|2200 |8 | a) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre ces deux
variables statistiques. Conclusion ?
b) Un expert en démographie affirme que les deux caractéristiques sont
indépendantes. Qu'en pensez-vous ? Exercice 7 : L'indice moyen d'un salaire a évolué de la façon suivante :
[pic]
a) Représenter cette série statistique par un nuage de points.
b) En utilisant la méthode des moindres carrées, calculer l'équation
de la droite représentant l'indice en fonction de l'année.
c) Comment pourrait-on prévoir l'indice à l'année 9 ?
Exercice 8 : Soit X une variable statistique qualitative à k modalités et Y
une variable statistique quantitative. Chaque modalité de X définit une
sous-population : celle des individus ayant cette modalité. On note [pic]
l'effectif correspondant à la modalité j de X, [pic](resp. [pic]) la
moyenne (resp. la variance) des valeurs de la variable Y pour les individus
de la modalité j. Montrer que [pic] où [pic]. On les appelle respectivement
variances inter et intra-catégories. Exercice 9 : On observe le nombre d'enfants Y sur un ensemble de 12
individus répartis entre les sexes (variable X) : |F |3 |4 |5 |4 |2 |5 |
|H |10 |7 |6 |3 |4 |2 | 1) Représenter graphiquement cette série.
2) Calculer les moyennes arithmétiques dans chaque classe
3) Calculer les variances inter et intra-catégories.
4) Calculer et interpréter le rapport de corrélation entre X et Y.
Conclusion ?
Exercice 10 : Soient x et y deux séries statistiques de taille n. On note
rx et ry les séries des rangs correspondantes.
a) Montrer que [pic].
b) Montrer que [pic].
c) En posant [pic], montrer que[pic].
d) En déduire l'expression du coefficient linéaire entre ces deux
séries, appelé coefficient de corrélation des rangs de
Spearman : [pic] . Exercice 11 : Dix échantillons de cidre ont été classés par ordre de
préférence par deux gastronomes. On obtient les classements suivants : |A |1 |2 |3 |4 |
|2 ans |84 |224 |73 |19 |
|3 ans |35 |137 |75 |27 |
|4 ans |14 |59 |34 |16 | 1) Déterminer le tableau des profils colonnes en pourcentage
2) Représenter graphiquement le diagramme en barre de ces profils
3) Déterminer le tableau des effectifs théoriques
4) Calculer l'indice du Chi2 et les contributions de chaque case.
Conclusion ?