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Les séries de Fourier et la transformée de Fourier seront tout d'abord étudiées ... Série de Fourier, phénomène de Gibbs, échantillonnage, théorème de Shannon, transformée de Fourier/Laplace, transformée en z, ... Examen oral individuel :.


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FCE 2 Session 1996
PHYSIQUE APPLIQUEE
Durée: 4 H Coef : 4 AVERTISSEMENT A UX CANDIDATS: - Les trois parties du problème sont indépendantes.
- Le sujet comporte une annexe. NOTATIONS UTILISÉES :
u, v, i, ... pour les valeurs instantanées.
U, V, I, .... pour les grandeurs complexes associées à ces valeurs
instantanées en régime sinusoïdal.
U, V, I, ... pour les modules de ces grandeurs complexes.
U(p) , V(p) , I(p) , ... pour les transformées de Laplace des valeurs
instantanées u , v , i
PREMIERE PARTIE
DETERMINATION DE LA RESISTANCE D'ARC DU FOUR
On se propose d'étudier quelques caractéristiques du circuit électrique du
four à arc du système afin d'accéder à la résistance d'arc du four Ra.
1 Étude du circuit électrique du four à arc
Le schéma du circuit à étudier est donné figure 1. [pic]
Les bornes 1, 2 et 3 sont issues du secondaire du transformateur triphasé
d'alimentation du four. Les trois dipôles notés R et L sont supposés
identiques. Ils modélisent les câbles, les bras porte-électrodes et les
électrodes du four. De plus, les trois dipôles inductifs ( L ) sont couplés
par inductance mutuelle M.
Les arcs électriques sont représentés par les trois tensions d'arc val, va2
et va3. 1 Ecrire les équations différentielles donnant les tensions v1, V2 et V3
existant entre les bornes 1, 2, 3 et la masse ( cuve du four ) en
fonction des intensités des courants de ligne, des tensions d'arc et de
R, L et M.
2 Le système triphasé ( il , i2 , i3 ) étant équilibré, écrire la relation
existant entre les intensités complexes e ces courants.
3 Les tensions d'arc formant un système triphasé équilibré, l'étude du
circuit triphasé peut se ramener à une phase.
Déduire de la question précédente l'expression de la tension v, en fonction
de il Va,, R, L et M.
4 Chaque arc est modélisé par une résistance Ra - On se limitera à l'étude
du circuit de la figure 2 en régime sinusoïdal (ce qui est pratiquement
réalisé lors du moussage).
Ecrire la relation existant entre la tension complexe V, l'intensité
complexe I, R, Ra, L et M.
[pic]
figure 2
1.5. Montrer que la résistance d'arc Ra peut s'écrire :[pic]
1.6. Application numérique : V = 289V, I = 50 kA, R = 0,50 m(, X=(L-M)( =
2,5m(.
Calculer la résistance d'arc du four Ra
2 Étude d'une bobine de Rogowski
En réalité, le circuit triphasé n'est pas tout à fait équilibré et les
courants et les tensions ne sont pas sinusoïdaux ( surtout lorsqu'il n'y a
pas moussage). Afin de pouvoir réguler la résistance d'arc, il faut la
déterminer avec précision au moyen d'un calculateur. Cela nécessite de
mesurer pour une phase la tension vl, l'intensité il et les dérivées des
intensités des trois courants, soit [pic]à cause des effets inductifs des
montages et des couplages par inductance mutuelle. On propose dans cette
partie d'étudier un capteur qui donne une tension proportionnelle à la
dérivée de i : c'est la bobine de Rogowski.
1 Soit un fil conducteur parcouru par un courant d'intensité i variable
dans le temps (figure 3 page suivante).
En utilisant le théorème d'Ampère (donné en annexe) , déterminer le
module du vecteur champ magnétique [pic] existant à la distance r du
conducteur placé dans l'air.
|[pic] |[pic] |
|figure 3 |figure 4 |
2 La bobine de Rogowski est un tore de section rectangulaire A, de
longueur moyenne (, possédant N spires bobinées autour d'un noyau en
matière synthétique, non magnétique (figure 4).
Exprimer le rayon moyen r0 du tore en fonction de (
En déduire l'expression de B au centre d'une spire en fonction de (0, i
et (.
On supposera que cette valeur est la même en tout point de la spire.
3 Donner l'expression du flux ( du vecteur champ magnétique [pic] (que l'on
supposera homogène) à travers une spire de la bobine.
En déduire le flux total ( à travers toute la bobine.
Donner l'expression du flux ( du vecteur champ magnétique [pic] (que l'on
supposera
4 Déterminer l'expression de la tension uR induite que l'on peut mesurer
aux bornes de la bobine en fonction de (, N, A et de la dérivée de i.
5 En déduire l'expression du coefficient k de proportionnalité entre uR et
[pic]
6 Application numérique: A = 2,0 cm2, 40 cm, N = 60 spires, (0 = 4(. 10 -7
H.m-1
Calculer le coefficient k. DEUXIEME PARTIE
REGULATION DE LA RESISTANCE D'ARC:
ETUDE DE L'ASSERVISSEMENT Le principe de régulation à puissance active constante du four nécessite un
asservissement de la résistance d'arc. La résistance d'arc dépend
essentiellement de la distance h entre le bain de métal et l'extrémité de
l'électrode.
Le système E.M.P.E.R.E utilise un calculateur analogique qui calcule la
résistance d'arc Ra , pour une phase, à partir de la tension v entre le
bras porte électrode et la cuve du four et des tensions UR1, uR2, uR3
délivrées par les tores de Rogowski (tensions proportionnelles aux dérivées
des intensités des courants de phase : [pic]
Le schéma fonctionnel de l'asservissement de la résistance d'arc est le
suivant :
[pic] . Rac consigne de résistance,
. u : tension de commande de l'actionneur,
. h : hauteur de l'électrode,
. Ra résistance d'arc. L'actionneur est défini par l'ensemble de composants qui transforme le
signal de commande u, issu du bloqueur, en mouvement de l'électrode h.
Soit H(p) et U(p) les transformées de Laplace de h(t) et u(t) :
la transmittance de l'actionneur est : F(p) = H(p)/U(p).
(Actionneur, four et calcul de la résistance d'arc sont des processus
analogiques)
Pour effectuer une étude simplifiée de l'asservissement, l'ensemble (four +
calcul de la résistance d'arc) est modélisé par une fonction « Arc »
d'entrée h, de sortie Ra (figure 6).
[pic]
figure 6 La relation entre Ra et h est linéaire pour h < 0,3 m. On suppose cette
condition réalisée.
On a alors : Ra = Ka.h, avec Ka = 1,0.10-2 (/m.
Dans la suite du problème, on considérera la fonction Arc comme un
processus analogique dont la transmittance de Laplace est la constante
réelle Ka
Le signal Ra est échantillonné. Les échantillons de Ra sont pris en compte
par un calculateurnumérique qui les compare à la résistance de consigne Rac
Le calculateur effectue également la fonction correction, (comparateur et
correcteur sont doncdes processus numériques).
Modélisation de l'asservissement
Vu la grande inertie de l'actionneur (fréquence de résonance fR=3Hz) et la
valeur de la
fréquence d'échantillonnage fe = 50 Hz le signal de sortie du bloqueur
(signal en marche d'escalier) est lissé par l'actionneur.
La contribution du bloqueur est alors un simple retard ( = Te/2 avec Te=
1/fe
Sa transmittance de Laplace sera : B0(p) = [pic]
La contribution du correcteur peut être modélisée par sa réponse en
fréquence (fonction de transfert isochrone Ci(j()).
L'étude de l'asservissement se fera comme pour un système continu en
définissant une transmittance de Laplace pour chaque fonction.
Le schéma fonctionnel est alors le suivant : [pic] La transmittance F(p) de l'actionneur est ([pic] avec : K0 = 8,3.10-3 m /(s.V) , (0 = 20 rad/s ,m = 0,80 on rappelle que Ka=1,0.10-2(/m. 1 Etude du correcteur
Le correcteur numérique a pour transmittance
[pic] U1(z) transformée en z de la séquence {u1(nTe)},
((z) transformée en z de la séquence {( (nTe)},
a et b sont des réels positifs, K est un coefficient positif en V/(. 1 Déterminer l'algorithme de calcul du correcteur en fonction de a, b, K et
des échantillons d'entrée et de sortie.
Fonction de transfert isochrone
La fonction de transfert isochrone Ci(j(() du correcteur est obtenue en
remplaçant z par exp(j(Te) dans C(z).
Ci(j()=C(exp(j(Te)).
2 Déterminer l'expression de Ci(j() en fonction de K, a, b, ( et Te.
Pour la suite du problème, on donne l'expression du module et de l'argument
de Ci(j()
[pic]
[pic]
2 Etude de la correction
1 Correction proportionnelle
On choisit : a = 0, b = 0 .
Le correcteur a alors pour transmittance : Ci(p) = K. Les diagrammes des
figures 8 et 9 page 8 représentent module et argument de la fonction de
transfert
[pic]
1 Déterminer graphiquement en utilisant le critère du revers la valeur
limite de K au delà de laquelle l'asservissement est instable en boucle
fermée.
On appelle Kc cette valeur de K. Etude de la précision La transmittance de la chaîne d'action corrigée est
[pic] 2 Montrer que: [pic]
3 On applique à l'entrée un échelon de consigne d'amplitude R0 = 0, 1 m(. Donner l'expression de ((p) en fonction de Tc(p), p, R0
Calculer à l'aide du théorème de la valeur finale (donné en annexe)
l'erreur de « position »
(p = lim ((t) quand t( ( . 4 On applique à l'entrée une rampe de pente ( Rac (t) = (t pour t ( 0 , Rac(t) = 0 pour t < 0
Donner l'expression de ((p) en fonction de Tc(p), p et (.
(On rappelle que la transformée de Laplace de (t est (/p2)
Déterminer l'expression de l'erreur de traînage (T en fonction de Ka, K0,
K, et (
(T = lim ((t) quand t(oo.
Quelle est la valeur numérique minimale de (T lorsque K = Kc et ( = 1m(/s ? 5 Pour avoir un minimum de marge de stabilité on choisit K = 2x 105 V/(.
Quelle est l'erreur de traînage correspondante pour la même rampe que
précédemment ?
6 A l'aide des diagrammes figures 8 et 9 page 8 déterminer la marge de
phase de l'asservissement correspondant à cette valeur de K.
Cette marge de phase est-elle satisfaisante ?
2 Cor
....