Exercice 2 : Le trébuchet (5,5 points)

Réunion 2007 Exercice 2 : Le trébuchet (5,5 points)
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Étude du mouvement du projectile après libération
1. Caractéristiques du poids [pic]:
- direction: verticale
- sens: vers le bas
- valeur: P = m.g
P = 130 ( 10 = 1,3(103 N Caractéristiques de la poussée d'Archimède [pic]:
- direction: verticale
- sens: vers le haut
- valeur: PA = (air.V.g
PA = 1,3 ( 50(10-3 ( 10 = 1,3(5,0(10-1 = 6,5(10-1 N (V = 50
L = 50(10-3 m3) 2. Calculons: [pic]= [pic]= 0,20(104 = 2,0(103 Le valeur du poids est environ 2000 fois plus grande que la valeur de la
poussée d'Archimède. On peut donc négliger par la suite la poussée d'Archimède devant le poids. 3. Système : Le projectile Référentiel : le sol , référentiel
terrestre supposé galiléen
Dans le cadre de la chute libre, le projectile n'est soumis qu'à la force
poids.
La 2nde loi de Newton donne: [pic] = m.[pic] ( m. [pic] =m.
[pic]
soit: [pic]=[pic]
En projection selon les axes Ox et Oz du repère choisi et compte tenu du
sens du vecteur [pic] indiqué sur la figure 1 ci-dessus, il vient:
[pic] 4. Coordonnées du vecteur vitesse initiale [pic] :
[pic]
5. À chaque instant, [pic] donc : ax(t) = [pic] et az(t) = [pic], en
primitivant on a : [pic] Compte tenu du vecteur vitesse initiale [pic] = [pic]on a :
v0 . cos( = Cte1
v0 . sin( = 0 + Cte2
Finalement :
[pic] Comme à chaque instant la composante du vecteur vitesse sur l'axe
horizontal est constante (vx(t) = v0 . cos( = Cte1), le mouvement du
projectile en projection sur l'axe horizontal est uniforme. 7. À chaque instant [pic] donc vx(t) = [pic] et vz(t) = [pic], en
primitivant on a : [pic]
Or à t = 0 le projectile est au point de coordonnées (x(0) = 0; z(0) = H)
donc:
x(0) = 0 + Cte3 = 0
z(0) = 0 + 0 + Cte4 = H
Finalement :
[pic] 8. On tire de l'expression de x(t) = v0.cos(.t , le temps t : t = [pic]
que l'on reporte dans z(t) : z(x) = [pic] Finalement: [pic] L'expression z(x) est de la forme: z(x) = a.x² + b.x + c avec a qui est
négatif.
Il s'agit de l'équation d'une parabole dont la concavité est tournée vers
le bas (a