Stabilite.doc

Performances des asservissements : Etude de la stabilité. Pour les performances des systèmes asservis, on oppose généralement la
« précision » qui n'est pas étudiée ici, et la stabilité (on parle de
compromis « précision / stabilité ») Définition(s) de la stabilité, lien avec la réponse impulsionnelle, et
avec les pôles ou valeurs propres.
1.1 Stabilité E.B.S.B.
Définition : Un système est stable si à toute entrée bornée (en
amplitude) il répond par une sortie bornée. On parle de stabilité E.B.S.B. : E(ntrée) B(ornée) S(ortie) B(ornée). Signal borné [pic]: [pic]réel positif tel que [pic] Si on peut trouver une entrée bornée (un échelon par exemple) qui
détermine une sortie non bornée, on conclut à l'instabilité.
Relation entre stabilité et réponse impulsionnelle
Sachant que la relation d'entrée sortie d'un système invariant linéaire
est un produit de convolution, on peut démontrer que la réponse impul-
sionnelle [pic]d'un système EBSB stable est intégrable en valeur
absolue : [pic] Etudier la stabilitéau sens EBSB pour :
. Intégrateur simple [pic] ( instable
. Oscillateur : [pic] ( instable
. Processus constante de temps[pic] stable (si b>0)
Relation entre stabilité et valeurs des pôles ou valeurs propres
C
ompte tenu de la formule des résidus, la réponse impulsionnelle se
présente comme une combinaison linéaire de termes exponentiels de la
forme : [pic] C
hacun des termes de cette somme doit être intégrable pour obtenir la
condition de stabilité, ce qui implique que la partie réelle de tous
les pôles ou valeurs propres doit être négative strictement : On vérifiera que la condition [pic] implique que [pic]est intégrable en
valeur absolue.
1.2 Stabilité selon Lyapounov (ou Ljapunov) C
'est une définition différente: d'abord, Lyapounov considère le retour à
l'équilibre du système libre, (c'est à dire second membre de l'équation
différentielle nul, et conditions initiales non nulles).
Il distingue les trois cas suivants pour la stabilité :
. Le système revient au repos, la sortie [pic]et ses dérivées s'annulent.
C'est ce qu'il appelle la stabilité asymptotique, équivalente à la
stabilité EBSB de la page précédente.
. l'état du système, bien que non nul, reste borné ; on ne retrouve pas
l'origine de l'espace d'état (sortie et dérivées nulles), mais plutôt
soit un point d'équilibre, soit un cycle permanent : c'est la stabilité
au sens strict, ou juste-stabilité.
. l'état du système croît en module indéfiniment, c'est l'instabilité. Illustration pour un système du second ordre dans le plan de phase
(portrait de phase)
Remarque
Cette définition s'applique à la stabilité des systèmes non linéaires : En résumé
Pour un système linéaire : V Re(pôles)