Exercice I. Stockage de l'énergie solaire (6,5pts)

EXERCICE I. STOCKAGE DE « L'ÉNERGIE SOLAIRE » (6,5 Points)
Nouvelle Calédonie 03/2008 session rattrapage bac 2007 Correction ©
http://labolycee.org 1. Utilisation d'un condensateur de très grande capacité Figure 2 : charge du condensateur
1.1.1. Entre t = 0 s et t = 0,82 s, la tension uC(t) augmente
proportionnellement à la durée de charge : il s'agit d'un régime
transitoire.
Puis pour t > 0,82 s , la tension uC(t) est constante : le régime est
alors permanent.
1.1.2. Relation entre tension et charge : uC(t) = [pic] (1)
1.1.3. Relation entre intensité et charge : i(t) = [pic]
Tant que uC < Umax, l'intensité est constante, i(t) = I,
donc : I = [pic]
En primitivant : q = I . t + q(0)
Le condensateur est initialement déchargé donc q(0) = 0 C donc
finalement :
q = I . t (2)
En reportant (2) dans (1), il vient : uC(t) = [pic] (3)
pour uC < Umax.
1.1.4. En régime transitoire le graphe est une droite qui passe par
l'origine donc la tension uC est proportionnelle au temps t : uC(t) = k .
t (4) où k est le coefficient directeur.
Entre les points (0 s; 0 V) et (0,82 s; 2,25 V) il vient :
k = [pic]= 2,7 V.s-1
En identifiant (3) et (4) on obtient : k = [pic] ( C = [pic]= 0,10 F Le constructeur indique C = 100 000 µF [pic]10%, soit C = 0,10 F avec deux
chiffres significatifs. La valeur expérimentale obtenue est compatible avec
l'indication du constructeur. 1.1.5. Energie stockée dans le condensateur une fois chargé :
E = ½.C.U²max
E = ½ ( 0,10 ( 2,25² = 0,25 J.
1.2. Décharge du condensateur dans un conducteur ohmique
1.2.1. Compte tenu du sens du courant choisi sur le schéma, on a :
i(t) = [pic]
q(t) = C . uC(t)
En reportant q(t) dans i(t) il vient :
i(t) = [pic]= C . [pic] car C est constante.
i(t) = C . [pic] (6)
1.2.2. D'après la loi d'Ohm : uR(t) = R . i(t)
D'après la loi d'additivité des tensions : uC(t) + uR(t) = 0
uC(t) + R . i(t) = 0
En reportant l'expression (6) on a : uC(t) + R.C.[pic] = 0
(7)
1.2.3. uC = Umax . e - t/RC est une solution de l'équation différentielle
précédente si elle vérifie l'équation précédente. Calculons :
uC(t) + R.C.[pic] = Umax . e - t/RC + R.C.(-[pic].Umax . e - t/RC)
= Umax . e - t/RC - Umax . e - t/RC
= 0 .
On retrouve bien l'équation (7), donc uC = Umax . e - t/RC est une
solution de l'équation différentielle.
1.2.4. Lors de la décharge uc(t) diminue au cours du temps donc [pic] < 0 .
Par conséquent
i(t) = C . [pic] < 0 car C > 0. L'intensité i(t) est négative lors de la
décharge. 1.2.5. On a : ( = R.C donc : R = [pic]
R = [pic] = 1,3 (
1.2.6. On trace la droite uC = 1,0 V. Cette droite coupe le graphe uc(t) en
un point dont l'abscisse est égale à (t.
Graphiquement : (t = 1,0(102 ms = 0,10 s
Cette durée est très courte : le condensateur se décharge trop rapidement
pour être utilisé dans un éclairage de nuit.
2. Utilisation d'une pile à combustible
2.1. Électrolyse de l'eau
2.1.1. L'électrolyse de l'eau est une transformation forcée. Pour qu'elle
ait lieu, la cellule photovoltaïque doit fournir de l'énergie électrique.
2.1.2. À l'anode se produit l'oxydation de l'eau : (1)
2H2O([pic]) = O2(g) + 4 e- + 4 H+(aq)
À la cathode se produit la réduction des ions H+ : (2) 2H+(aq)
+ 2 e- = H2(g).
En ajoutant (1) + 2((2) on retrouve bien l'équation de l'électrolyse
étudiée. 2.1.3. La borne négative de la cellule photovoltaïque fournit des électrons
qui sont consommés au niveau de la cathode selon la demi-équation
électronique de réduction : 2H+(aq) + 2 e- = H2(g). 2.2. Fonctionnement de la pile 2.2.1.
L'équation de fonctionnement de la pile est l'équation inverse de celle de
l'électrolyse :
2 H2(g) + O2(g) = 2 H2O([pic])
Le dioxygène est réduit en eau selon : O2(g) + 4 e- + 4 H+(aq) =
2H2O([pic]) .
Ainsi les électrons arrivent sur l'électrode sur laquelle est introduit le
dioxygène.
On en déduit le sens de circulation des électrons et celui du courant (sens
de circulation opposé à celui des électrons) ainsi que la polarité de la
pile sachant qu'à l'extérieur de la pile le courant circule de la borne
positive vers la borne négative. 2.2.2. On a : H2(g) = 2H+(aq) + 2 e-
Lorsqu'une mole de H2 est consommée, deux moles d'électrons sont fournies
au circuit extérieur ainsi : n(e-) = 2 n(H2)
Et comme Q = n(e-) . F , il vient Q = 2 n(H2) . F
Q = 2 ( 6,0 ( 10-2 ( 9,65 ( 104 = 1,2 ( 104 C 2.2.3. Comme : Q = I . (t alors (t = [pic]= [pic]
(t = [pic]= 1,7 ( 104 s = 4,6 h
Cette durée étant très supérieure à celle obtenue à la question 1.2.6. ((t
= 0,10 s), l'utilisation de la pile permet d'assurer un éclairage de nuit
pendant une durée suffisante.
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R Électrodes H2O et un électrolyte (acide phosphorique) H+ (aq) H2O ([pic]) O2 (g) H2 (g) Méthode :
- on trace la droite uC = 0,37 . Umax
- cette droite coupe le graphe uc(t) en un point dont l'abscisse est égale
à (. ( = 1,3(102 ms = 0,13 s 0,37 . Umax = 0,83 V Umax = 2,25 V i uR R uC C q K' i Figure 3 Régime transitoire Régime permanent (t e- e- I I + -