Exercice 1

Exercice 1 Le moment d'inertie du rotor d'un moteur de machine électrique s'oppose à
sa variation de vitesse angulaire. Plus il sera grand, plus il sera
difficile de changer de fréquence de rotation. On assimile le rotor d'un
moteur à un cylindre homogène de diamètre 250 mm et de hauteur 100 mm et de
masse volumique ? = 7 100 kg/m3. 1) Calculer son moment d'inertie Formule : I = ½. M.R2 = ½. ? . V . R2 = ½. ? . S . H . R2 = ½. ? .
?R2 . H . R2 = ½. ? . ?R4 . H
Application : I = ½ x 7100 x ? x 0,1254 x 0,1 = 0,2723 Kg.m2 2) Calculer le moment d'inertie d'un rotor assimilable à un cylindre de
même masse, mais ayant un diamètre de 100 mm.
Formule : I = ½. (? . ?R2 . H) . R2
Application : I = ½ x (7100 x ? x 0,1252 x 0,1) x 0,12 = 0,1743
Kg.m2 3) Citer pour chaque moteur une application où son emploi est souhaitable.
Faible moment d'inertie pour un arrêt rapide et précis
Fort moment d'inertie pour diminuer les vibrations et emmagasiner de
l'énergie Exercice 2 Une machine est entraînée par un moteur électrique de fréquence nominale 1
500 tr/min. Celui-ci exerce au démarrage un couple moteur constant de 40
N.m. Le moment d'inertie de l'ensemble de la chaîne cinématique rapporté à
l'axe du rotor est de 12,5 kg.m². Le couple résistant dû aux frottements
est supposé constant et égal à 4 N.m. 1) Calculer l'accélération du moteur pendant le démarrage.
Formule : PFD : Cm - Cr = I . w' ( w' = (Cm - Cr) / I
Application : ( w' = (40 - 4) / 12,5 =
2,88 rd/s2 2) Calculer le temps mis pour atteindre la fréquence nominale.
Formule : t = (w - w0) / w'
Application : t = (2?x1500/60) / 2,88 = 54,54 s Exercice 3 Une meule pleine cylindrique de masse volumique 4 000 kg/m3 a un diamètre D
= 600 mm et une épaisseur e = 50 mm. Elle tourne à la fréquence N de 900
tr/min d'un mouvement uniforme quand elle est entraînée par le moteur
électrique. On débraye le moteur. La meule n'est plus soumise qu'au couple
de frottement Cf de son arbre sur les paliers. Cf = 5 N.m. 1) Calculer ? '
Formule : PFD : Cm - Cr = I . w' ( w' = (Cm - Cr) / I =
- Cf / ( ½ . ?.V. R2)
Application : w' = (- 5) / ( ½ x 4000 x ? x 0,32 x 0,05 x 0,32) =
- 1,965 rd/s2 2) Calculer le temps d'immobilisation :
Formule : t = (w - w0) / w'
Application : t = (- 900x2?/60) / - 1,965 = 47,97 s 3) Calculer le nombre de tours faits pendant ce temps :
Formule : ? = (w2 - w02) / 2w' n = ? / 2?
Application : ? = -(900x2?/60)2 / (2x-1,965) = 2260 rd n = 2260
/ 2? = 360 tours Exercice 4 Une meule de moment d'inertie J = 40 kg.m2 tourne à la vitesse de 1 200
tr/min. Après le freinage, elle s'arrête après avoir fait 450 tours.
Calculer la valeur du couple de freinage. Formule : PFD : Cm - Cr = I . w' ( Cr = I . w02 / 2? Application : Cr = 40 x (1200x2?/60)2 / (2x450x2?) = 111,7 N.m Exercice 5 Le rotor d'un moteur est assimilé à un cylindre dont on donne les
caractéristiques ; ? désigne la masse volumique. 1) Calculer le moment d'inertie du cylindre. Formule : I = ½. M . R2 = ½. ? . V . R2
I = ½. ? . ?R4 . H
Application : I = ½ x 7000 x ? x 0,124 x 0,14
I = 0,3192 Kg.m2 2) Le rotor tourne à la fréquence de 600 tr/min d'un mouvement uniforme.
Calculer sa vitesse angulaire. Formule : w = 2? x N /60
Application : w = 2? x 600 /60 = 20? = 62,83 rd/s 3) On coupe l'alimentation du rotor qui n'est donc soumis qu'au couple de
frottement d'une valeur de 4 N.m.
a) Calculer en appliquant le principe fondamental de la dynamique
l'accélération angulaire. Formule : PFD : Cm - Cr = I . w' ( w' = (Cm - Cr) / I =
- Cf / I
Application : w' = (- 4) / 0,3192 = - 12,53 rd/s2 b) Calculer le temps mis par le rotor pour être à l'arrêt. Formule : t = (w - w0) / w'
Application : t = (- 600x2?/60) / - 12,53 = 5 s Exercice 6 On considère un cylindre de masse M = 500 g muni d'une gorge périphérique
sur laquelle on enroule un fil.
On accroche à l'extrémité une masse m et le système se met en rotation.
Le graphe obtenu représente la somme algébrique des moments des forces et
des couples appliquées au cylindre en fonction de l'accélération angulaire
w' . 1) Indiquer ce que représente le coefficient directeur de la droite
obtenue. La courbe représente le PFD : Cm - Cr = I . w'
Donc le coef directeur de la droite est le moment d'inertie I = (Cm - Cr)
/ w' = 4 / 30 = 0,133 Kg.m2 2) En déduire le rayon du cylindre. Formule : I = ½ x m x R2
R = (2I/m)1/2 Application : R = (2x0,133/0,5)1/2
R = 0,73m
Exercice 7
Un treuil est constitué d'un cylindre homogène de masse M = 20 kg, de rayon
r = 10 cm et d'axe Z. Une corde enroulée sur le treuil soutient un solide S
de masse m = 10 kg. Les masses de la corde et de la manivelle ainsi que
toutes les résistances passives (frottements et résistance de l'air) sont
négligeables.
1) Calculer la tension T de la corde en situation d'équilibre ou de
rotation uniforme
Formule : PFD : ?F = m a
T - mg = 0
T = mg
Application : T = 10 x 9,81 = 98,1 N
2) Calculer l'accélération angulaire w' du treuil si on lâche la manivelle
Formule : PFD : Cm - Cr = I . w'
w' = Cm / I = r T / ½ m R2
Application : w' = 0,1 x 98,1 / (½ x 20 x 0,12) = 98,1 rd/s2
3) Calculer l'accélération linéaire a du solide S dans sa chute lorsqu'on
lâche la manivelle.
Formule : a = Rw'
Application : a = 0,1 x 98,1 = 9,81 m/s2 Exercice 8 Un petit gyroscope cylindrique de masse m = 100 g et de 5 cm de rayon
tourne autour de son axe à raison de 3600 tours par minute. Sachant qu'il
s'arrête en 3 minutes sous l'action de résistances passives équivalentes à
un couple que vous supposerez constant : 1) Calculer l'accélération angulaire w' du gyroscope
Formule : w' = (w-w0)/t
Application : w' = (-3600x2?/60)/(3x60) = -2?/3 = - 2,1 rd/s2 2) Calculer le moment M du couple résistant
Formule : PFD : Cm - Cr = I . w' ( Cr = - ½ mR2 . w'
Application : Cr = - ½ x 0,1 x 0,052 x -2,1 = 2,6e-4 N.m 3) Calculer le nombre de tours n effectués entre le début du ralentissement
et l'arrêt.
Formule : ? = (w2 - w02) / 2w' n = ? / 2?
Application : ? = -(3600x2?/60)2 / (2x-2,1) = 33839rd n =
33839 / 2? = 5385 tours