Sujet d'examen - Free

Les séries de Fourier et la transformée de Fourier seront tout d'abord étudiées ... Série de Fourier, phénomène de Gibbs, échantillonnage, théorème de Shannon, transformée de Fourier/Laplace, transformée en z, ... Examen oral individuel :.


un extrait du document



e plus, les trois dipôles inductifs ( L ) sont couplés par inductance mutuelle M.
Les arcs électriques sont représentés par les trois tensions d'arc val, va2 et va3.
Ecrire les équations différentielles donnant les tensions v1, V2 et V3 existant entre les bornes 1, 2, 3 et la masse ( cuve du four ) en fonction des intensités des courants de ligne, des tensions d'arc et de R, L et M.
Le système triphasé ( il , i2 , i3 ) étant équilibré, écrire la relation existant entre les intensités complexes e ces courants.
Les tensions d'arc formant un système triphasé équilibré, l'étude du circuit triphasé peut se ramener à une phase. Déduire de la question précédente l'expression de la tension v, en fonction de il Va,, R, L et M.
Chaque arc est modélisé par une résistance Ra  On se limitera à l'étude du circuit de la figure 2 en régime sinusoïdal (ce qui est pratiquement réalisé lors du moussage). Ecrire la relation existant entre la tension complexe V, l'intensité complexe I, R, Ra, L et M.
 figure 2
1.5. Montrer que la résistance d'arc Ra peut s'écrire : INCORPORER Equation.3 
1.6. Application numérique : V = 289V, I = 50 kA, R = 0,50 m(, X=(LM)( = 2,5m(.
Calculer la résistance d'arc du four Ra
Étude d'une bobine de Rogowski
En réalité, le circuit triphasé n'est pas tout à fait équilibré et les courants et les tensions ne sont pas sinusoïdaux ( surtout lorsqu'il n'y a pas moussage). Afin de pouvoir réguler la résistance d'arc, il faut la déterminer avec précision au moyen d'un calculateur. Cela nécessite de mesurer pour une phase la tension vl, l'intensité il et les dérivées des intensités des trois courants, soit  INCORPORER Equation.3 à cause des effets inductifs des montages et des couplages par inductance mutuelle. On propose dans cette partie d'étudier un capteur qui donne une tension proportionnelle à la dérivée de i : c'est la bobine de Rogowski.
Soit un fil conducteur parcouru par un courant d'intensité i variable dans le temps (figure 3 page suivante).
En utilisant le théorème d'Ampère (donné en annexe) , déterminer le module du vecteur champ magnétique  INCORPORER Equation.3  existant à la distance r du conducteur placé dans l'air.

figure 3figure 4 La bobine de Rogowski est un tore de section rectangulaire A, de longueur moyenne (, possédant N spires bobinées autour d'un noyau en matière synthétique, non magnétique (figure 4).
Exprimer le rayon moyen r0 du tore en fonction de (
En déduire l'expression de B au centre d'une spire en fonction de (0, i et (.
On supposera que cette valeur est la même en tout point de la spire.
Donner l'expression du flux ( du vecteur champ magnétique  INCORPORER Equation.3  (que l'on supposera homogène) à travers une spire de la bobine.
En déduire le flux total ( à travers toute la bobine.
Donner l'expression du flux ( du vecteur champ magnétique  INCORPORER Equation.3  (que l'on supposera
Déterminer l'expression de la tension uR induite que l'on peut mesurer aux bornes de la bobine en fonction de (, N, A et de la dérivée de i.
En déduire l'expression du coefficient k de proportionnalité entre uR et  INCORPORER Equation.3 
Application numérique: A = 2,0 cm2, 40 cm, N = 60 spires, (0 = 4(. 10 -7 H.m-1 Calculer le coefficient k.
DEUXIEME PARTIE REGULATION DE LA RESISTANCE D'ARC: ETUDE DE L'ASSERVISSEMENT

Le principe de régulation à puissance active constante du four nécessite un asservissement de la résistance d'arc. La résistance d'arc dépend essentiellement de la distance h entre le bain de métal et l'extrémité de l'électrode.
Le système E.M.P.E.R.E utilise un calculateur analogique qui calcule la résistance d'arc Ra , pour une phase, à partir de la tension v entre le bras porte électrode et la cuve du four et des tensions UR1, uR2, uR3 délivrées par les tores de Rogowski (tensions proportionnelles aux dérivées des intensités des courants de phase :  INCORPORER Equation.3 
Le schéma fonctionnel de l'asservissement de la résistance d'arc est le suivant :

Rac consigne de résistance,
u : tension de commande de l'actionneur,
h : hauteur de l'électrode,
Ra résistance d'arc.
L'actionneur est défini par l'ensemble de composants qui transforme le signal de commande u, issu du bloqueur, en mouvement de l'électrode h.
Soit H(p) et U(p) les transformées de Laplace de h(t) et u(t) :
la transmittance de l'actionneur est : F(p) = H(p)/U(p).
(Actionneur, four et calcul de la résistance d'arc sont des processus analogiques)
Pour effectuer une étude simplifiée de l'asservissement, l'ensemble (four + calcul de la résistance d'arc) est modélisé par une fonction « Arc » d'entrée h, de sortie Ra (figure 6).

figure 6
La relation entre Ra et h est linéaire pour h < 0,3 m. On suppose cette condition réalisée.
On a alors : Ra = Ka.h, avec Ka = 1,0.10-2 (/m.
Dans la suite du problème, on considérera la fonction Arc comme un processus analogique dont la transmittance de Laplace est la constante réelle Ka
Le signal Ra est échantillonné. Les échantillons de Ra sont pris en compte par un calculateurnumérique qui les compare à la résistance de consigne Rac
Le calculateur effectue également la fonction correction, (comparateur et correcteur sont doncdes processus numériques).
Modélisation de l'asservissement
Vu la grande inertie de l'actionneur (fréquence de résonance fR=3Hz) et la valeur de la
fréquence d'échantillonnage fe = 50 Hz le signal de sortie du bloqueur (signal en marche d'escalier) est lissé par l'actionneur.
La contribution du bloqueur est alors un simple retard ( = Te/2 avec Te= 1/fe
Sa transmittance de Laplace sera : B0(p) =  INCORPORER Equation.3 
La contribution du correcteur peut être modélisée par sa réponse en fréquence (fonction de transfert isochrone Ci(j()).
L'étude de l'asservissement se fera comme pour un système continu en définissant une transmittance de Laplace pour chaque fonction.
Le schéma fonctionnel est alors le suivant : 
La transmittance F(p) de l'actionneur est ( INCORPORER Equation.3 
avec : K0 = 8,3.103 m /(s.V) , (0 = 20 rad/s ,m = 0,80

on rappelle que Ka=1,0.10-2(/m.
Etude du correcteur
Le correcteur numérique a pour transmittance
 INCORPORER Equation.3 
U1(z) transformée en z de la séquence {u1(nTe)},
((z) transformée en z de la séquence {( (nTe)},
a et b sont des réels positifs, K est un coefficient positif en V/(.
Déterminer l'algorithme de calcul du correcteur en fonction de a, b, K et des échantillons d'entrée et de sortie.
Fonction de transfert isochrone
La fonction de transfert isochrone Ci(j(() du correcteur est obtenue en remplaçant z par exp(j(Te) dans C(z).
Ci(j()=C(exp(j(Te)).
Déterminer l'expression de Ci(j() en fonction de K, a, b, ( et Te.
Pour la suite du problème, on donne l'expression du module et de l'argument de Ci(j()
 INCORPORER Equation.3 
 INCORPORER Equation.3 
Etude de la correction
Correction proportionnelle
On choisit : a = 0, b = 0 .
Le correcteur a alors pour transmittance : Ci(p) = K. Les diagrammes des figures 8 et 9 page 8 représentent module et argument de la fonction de transfert
 INCORPORER Equation.3 
Déterminer graphiquement en utilisant le critère du revers la valeur limite de K au delà de laquelle l'asservissement est instable en boucle fermée.
On appelle Kc cette valeur de K.
Etude de la précision
La transmittance de la chaîne d'action corrigée est
 INCORPORER Equation.3 
Montrer que:  INCORPORER Equation.3 
On applique à l'entrée un échelon de consigne d'amplitude R0 = 0, 1 m(.
Donner l'expression de ((p) en fonction de Tc(p), p, R0
Calculer à l'aide du théorème de la valeur finale (donné en annexe) l'erreur de « position »
(p = lim ((t) quand t( ( .
On applique à l'entrée une rampe de pente (
Rac (t) = (t pour t ( 0 , Rac(t) = 0 pour t < 0
Donner l'expression de ((p) en fonction de Tc(p), p et (.
(On rappelle que la transformée de Laplace de (t est (/p2)
Déterminer l'expression de l'erreur de traînage (T en fonction de Ka, K0, K, et (
(T = lim ((t) quand t(oo.
Quelle est la valeur numérique minimale de (T lorsque K = Kc et ( = 1m(/s ?
Pour avoir un minimum de marge de stabilité on choisit K = 2x 105 V/(. Quelle est l'erreur de traînage correspondante pour la même rampe que précédemment ?
A l'aide des diagrammes figures 8 et 9 page 8 déterminer la marge de phase de l'asservissement correspondant à cette valeur de K. Cette marge de phase estelle satisfaisante ?
Correction par avance de phase
On choisit : a = 0,8 , b = 0,6 .
La transmittance de la chaîne d'action corrigée s'écrit maintenant :
 INCORPORER Equation.3 
Déterminer la valeur à donner à K pour que l'erreur de traînage soit la même qu'à la question 2.1.5.
Calculer en prenant pour valeur de K la valeur trouvée à la question précédente et à l'aide des expressions données à la question 1.2. la valeur du module et de l'argument de Ci(j() pour ( = 21 rad/s.
En déduire en utilisant les diagrammes figures 8 et 9 la valeur du module et de l'argument de Tc(j() pour ( = 21 rad/s. Quelle est maintenant la marge de phase de l'asservissement ? (on arrondit la valeur de module de Tc(j() pour (( = 21rad/s à sa partie entière).

TROISIEME PARTIE DETECTION DU PHENOMENE DE MOUSSAGE
Introduction: principe de la détection de la phase de moussage du laitier
Les électrodes du four sont alimentées par un transformateur fournissant des tensions triphasées de fréquence 50Hz. Le courant dans les électrodes comporte en général de nombreux harmoniques. Mais lors du moussage, en raison de la stabilité de l'arc électrique, le courant devient presque sinusoïdal. Par l'intermédiaire du tore de Rogowski on élabore une tension uR, qui est l'image de la dérivée du courant dans une électrode.
Cette tension est analysée par la carte « moussage » dont la fonction est de déterminer si le laitier mousse ou ne mousse pas.
Le dispositif fonctionne de la manière suivante
il compare la valeur efficace de certains harmoniques à celle du fondamental de uRl
le fondamental est récupéré à l'aide d'un filtre passe bande,
les harmoniques sont récupérés à l'aide d'un filtre passe haut. La figure 10 page 12 donne le schéma fonctionnel de la carte « moussage ». Les différentes parties seront étudiées à l'exception du tore de Rogowski et de l'amplificateur.
Etude du filtre passe bande
C'est un filtre à capacités commutées constitué par trois cellules en cascade les filtres A, B et C. Seul le filtre A sera étudié. L'entrée d'horloge des trois filtres est commune. Le signal d'horloge a une fréquence fH= 2500 Hz.
Etude du filtre A :
Structure : voirfigure 11 page 12 ; K1 et K2sont des réels positifs.
Exprimer U3 en fonction de U2 et de U4 (relation 1).
Exprimer U4 en fonction de U3 et de U5 (relation 2).
Quelle est la fonction réalisée par la structure de fonction de transfert  INCORPORER Equation.3 
Exprimer U5 en fonction de U4 et remplacer U5 dans la relation 2.
En déduire l'expression de U3 en fonction de U4 et utiliser la relation 1 pour déterminer INCORPORER Equation.3 
Mettre  INCORPORER Equation.3 sous la forme  INCORPORER Equation.3 
Déterminer l'expression de Ci en fonction de K1 et K2 .
Déterminer l'expression de (0A pour laquelle le module AA de AA est maximal.
Déterminer l'expression de A0A = AA((0A).
Déterm iner le module et l'argument de AA pour ( (0 et pour w ( (
En déduire la nature du filtre.
La valeur de ( dépend de la fréquence de l'horloge qui pilote le filtre : ( =  INCORPORER Equation.3  Déterminer l'expression de la fréquence f0A Sélectionnée par ce filtre en fonction de fH et de (A 
Application numérique : calculer le module et l'argument de A0A et calculer f0A
Si fH = 2500Hz, (A = 0,90 , K1 = K 2 = EQ \F(1;33) 
Filtre B : c'est un filtre passe bande qui ne sera pas étudié.
Il sélectionne  INCORPORER Equation.3 
Filtre C : c'est un filtre passe bande qui ne sera pas étudié.
Il sélectionne  INCORPORER Equation.3 

Utilisation du filtre passe bande
L'ensemble des filtres A, B et C en cascade constitue un filtre du sixième ordre dont la courbe de réponse en fréquence est donnée sur la figure 12 page 13. Les figures 13 et 14 page 13 représentent les spectres de la tension u2 en absence de moussage et pendant le moussage. Les valeurs données sont des valeurs efficaces.
Déterminer la valeur efficace des harmoniques de la tension vF en sortie du filtre passe bande
• en absence de moussage,
• pendant la phase de moussage.
Présentation de la fonction valeur efficace 1
Elle est réalisée à l'aide d'un circuit intégré qui permet d'élaborer une tension continue VZ proportionnelle à la valeur efficace VF de la tension d'entrée vF.
Le facteur d'échelle a été réglé à 1 : VZ = VF
Déterminer la valeur de la tension continue Vz
• en absence de moussage (notée VZ1),
• pendant la phase de moussage (notée VZ2).
Utilisation du filtre passe haut
Il est constitué par six filtres du deuxième ordre en cascade.
Sa réponse en fréquence est donnée par la figure 15 page 13.
En utilisant les figures 13 et 14, déterminer la valeur efficace des harmoniques de la tension
VG en sortie du filtre passe haut
• en absence de moussage,
• pendant la phase de moussage.
Présentation de la fonction valeur efficace 2
Elle est semblable à la fonction valeur efficace 1 mais le facteur d'échelle est égal à quatre
Vx = 4VG
On rappelle que si u = UM1 sin( ( 1t + (l ) + UM2 sin ((2 t + (2 )+…sa valeur efficace est : INCORPORER Equation.3 
Déterminer la valeur de la tension continue Vx
• en absence de moussage (notée VX1),
• pendant la phase de moussage (notée VX2)
Etude de la comparaison de VZ et de VX
Elle est réalisée à l'aide d'un circuit intégré qui permet de générer une tension continue VS donnée par la relation suivante : INCORPORER Equation.3 
Détection du moussage : L'apparition du phénomène de moussage doit provoquer la saturation en sortie du circuit intégré ( VS = 15V ). Sachant que VZ vaut alors 0,75V et que K = IV, déterminer la valeur efficace maximale VGM que peut avoir vG pour provoquer cette saturation.
Détection de l'absence de moussage : En absence de moussage VS est égale à 0,72V alors que VZ = 0,8V. Déterminer dans ce cas la valeur efficace VG de vG.
Synthèse :
Avec les valeurs VZ1, V Z2, V x1 et VX2 obtenues dans les questions 4 et 6 , montrer qu'il est possible de détecter la phase de moussage (voir question 7).
Observer les analyses spectrales de u2 figures 13 et 14 et justifier le choix de la fréquence de coupure du filtre passe haut (500 Hz).
En supposant que la valeur du courant d'arc puisse varier de façon importante sans que sa forme ne change beaucoup, indiquer quel peut être l'intérêt d'étudier le rapport des tensions VZ et VX.

figure 10





figure 11 : filtre A


 figure 12
figure 13 : spectre de u2 en l’absence de moussage
figure 14 : spectre de u2 pendant le moussage
figure 15
ANNEXE:
Théorème d'Ampère :  INCORPORER Equation.3 
Théorème de la valeur finale :
Soit F(p) la transformée de Laplace d'une fonction f(t)
on a: lira f(t) = lim p.F(p)
t(( p(0






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