Exercice 2.9

DEVELOPPEMENT EN ARBRE ... Si l'un d'entre eux présente une défaillance, la machine tombe en panne. ...... Autre méthode : le diagramme en arbre :.

un extrait du document



remarques et suggestions ont apporté des améliorations significatives aux énoncés ainsi qu’à certaines propositions de solution.
Les générations passées d’étudiants ont inspiré également chaque année des améliorations et leurs réactions ont également permis d’affiner le texte.

N.B. Le texte contiendra au fur et à mesure de sa finalisation quelques liens hypertexte de la table des matières vers l’énoncé et le corrigé de l’exercice considéré.
Table des matières


Chapitre 2
Exercice 2.1
Exercice 2.2
Exercice 2.3
Exercice 2.4
Exercice 2.5
Exercice 2.6
Exercice 2.7
Exercice 2.8
Exercice 2.9
Exercice 2.10
Exercice 2.11
Exercice 2.12

Chapitre 3
Exercice 3.1
Exercice 3.2
Exercice 3.3
Exercice 3.4
Exercice 3.5
Exercice 3.6
Exercice 3.7
Exercice 3.8
Exercice 3.9
Exercice 3.10
Exercice 3.11
Exercice 3.12
Annexe au chapitre 2 : Exercices récapitulatifs
Exercice 2.1 :
On tire une carte d’un jeu de 32 cartes. Soit A = « Tirer un cœur » et B = «Tirer un as ».
Prouver que A et B sont indépendants.

Pour montrer l’indépendance, on doit donc prouver (définition statistique de l’indépendance) que P(A/B) = P(A) = P(A(B)/ P(B) ou P(A(B) = P(B).P(A).

L’approche classique va être utilisée pour calculer les probabilités de A, B et A(B.
P(A(B) est la probabilité de l’événement : « Tirer un as de cœur. » =  EMBED Equation.3  ; P(A) =  EMBED Equation.3  et P(B) =  EMBED Equation.3 .(Formules de Laplace)
Donc P(B).P(A) =  EMBED Equation.3  = P(A(B). A et B sont donc indépendants.

Exercice 2.2
Une usine fabrique des pièces en grande série, en deux phases indépendantes. La première phase est susceptible de faire apparaître un défaut X et la seconde un défaut Y.
Une pièce peut présenter le défaut X dans 2% des cas et le défaut Y dans 8% des cas.
Quelle est la probabilité qu’une même pièce tirée au hasard :
présente les deux défauts ? P(A) ?
présente au moins l’un des deux défauts ? P(B) ?
présente un et un seul des deux défauts ? P(C) ?
ne présente aucun des deux défauts ? P(D) ?
N.B. Il est utile de représenter graphiquement (via des diagrammes de Venn) les événements dont on cherche la probabilité ; de montrer que si un événement X et un événement Y sont indépendants, leurs complémentaires le sont également ainsi que de développer les solutions de façon alternative via un diagramme en arbre.
Solution :
Quelle est la probabilité qu’une même pièce tirée au hasard :
présente les deux défauts ? P(A) ?
Soit : X : « La pièce présente le défaut X » ; Y : « La pièce présente le défaut Y ».
Alors : P(X) = 0,02 ; P(Y) = 0,08 ; P( EMBED Equation.3 ) = 0,98 ; P( EMBED Equation.3 ) = 0,92. 
X et Y sont indépendants de même que  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 .
Preuve :
Si X et Y sont indépendants,
P(X(Y) = P(X).P(Y) et P( EMBED Equation.3 ) = 1 - P(X) et P( EMBED Equation.3 ) = 1 - P(Y).
Si  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  sont indépendants,
P( EMBED Equation.3 (  EMBED Equation.3 ) = P( EMBED Equation.3 ).P( EMBED Equation.3 ) = (1 - P(X)).(1 - P(Y)) = 1 - P(X) - P(Y) + P(X).P(Y).
Or ( EMBED Equation.3 (  EMBED Equation.3 ) = ~(X(Y) (Loi de de Morgan)et P(X(Y) = P(X) + P(Y) - P(X).P(Y).
Donc P(~(X(Y)) = 1 - P(X(Y) = 1 - P(X) - P(Y) + P(X).P(Y) = P( EMBED Equation.3 (  EMBED Equation.3 ). q.e.d.
Donc P(A) = P(X et Y) = P(X(Y) = P(X).P(Y) = 0,02 . 0,08 = 0,0016.
présente au moins l’un des deux défauts ? P(B) ?
P(B) = 1 - P( EMBED Equation.3 (  EMBED Equation.3 ) = 1 - P( EMBED Equation.3 ).P( EMBED Equation.3 ) = 1 - (0,98 .0,92) = 0,0984.
présente un et un seul des deux défauts ? P(C) ?
P(C) = P(X ou(excl.) Y) = P(X(Y) - P(X(Y) = P(X) + P(Y) - 2 . P(X(Y)
= 0,02 + 0,08 - (2 .(0,02 . 0,08))
= 0,10 - 0,0032 = 0,0968.
ou
P(C) = P(B) - P(A) = 0,0984 – 0,0016 = 0,0968.
ou
P(C) = P(X et  EMBED Equation.3 ) ou (excl.) P( EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 ) = P(X (  EMBED Equation.3 ) + P( EMBED Equation.3 (  EMBED Equation.3 ) :
en effet P(X et  EMBED Equation.3 ) ( P( EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 ) = P(X (  EMBED Equation.3 ) (( EMBED Equation.3 (  EMBED Equation.3 ) = (,
donc P(C) = 0,02 . 0,92 + 0,08 . 0,98 = 0,0968.
ne présente aucun des deux défauts ? P(D) ?
P(D) = 1 – P(B) = 1 - 0,0984 = 0,9016.
ou
P(D) = P( EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 ) = P( EMBED Equation.3 (  EMBED Equation.3 ) = P( EMBED Equation.3 ) . P( EMBED Equation.3 ) = 0,98 .0,92 = 0, 9016.

DEVELOPPEMENT EN ARBRE











Exercice 2.3
Une machine industrielle comprend trois organes de fonctionnement. Si l’un d’entre eux présente une défaillance, la machine tombe en panne. Les défaillances possibles de ces organes sont indépendantes et les probabilités de défaillance sont respectivement 0,02, 0,05 et 0,10.
Quelle est la probabilité que la machine tombe en panne ? P(D) ? 
Soit A,B, C, les événements : « L’organe i fonctionne, i = A, B, C. ».
Donc  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 .
Donc  EMBED Equation.3  correspondent à l’événement : « L’organe i est tombé en panne. ».
 EMBED Equation.3 
N.B. IMPOSSIBLE par  EMBED Equation.3 
         = 0,02 + 0,05 + 0,10 = 0,17.
car  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3  ne sont pas incompatibles entre eux.
Exercice 2.4
Une machine automatique comprend trois organes notés O1, O2 et O3. Les organes O1 et O2 sont interchangeables : si l’un d’eux est défectueux, l’autre prend le relais ; par contre, l’organe O3 est indépendant de O1 et O2. La machine tombe en panne si O1 et O2 ou O3 sont défectueux.
On désigne par A, B, C respectivement les événements suivants « O1, O2, O3 est défectueux. ».
Calculer la probabilité que la machine tombe en panne, P(D), en fonction des probabilités d’événements qui soient des réunions des événements élémentaires A, B et C. 
Solution :
D = (A(B)(C = (A(C)((B(C).
Et  EMBED Equation.3  désignera l’événement : « La machine fonctionne. » (  EMBED Equation.3 .
( P( EMBED Equation.3 = [1-P(C)].[1-P(A).P(B)] = 1- P(A).P(B) - P(C) + P(A).P(B).P(C).
( P( EMBED Equation.3 = 1- P( EMBED Equation.3 = P(A).P(B) + P(C) - P(A).P(B).P(C).
Exercice 2.5
Un système de chauffage central au fioul comporte une pompe et un brûleur montés en série. Ces deux éléments peuvent tomber en panne durant l’hiver. Tout le système s’arrête si l’un des deux éléments est en panne.

Supposons que le système ait été activé pendant un hiver et qu’un résultat (x,y) soit enregistré : x = 0 si la pompe fonctionne durant tout l’hiver sans défaillance, autrement x = 1 ; de même y = 0 si le brûleur fonctionne correctement, autrement y = 1.

Décrivez et représentez graphiquement :
en compréhension et en extension l’espace d’échantillonnage associé à cette épreuve ;
S = {(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)} ou S = {(x,y) ( x = 0,1 et y = 0,1}.
Représentation graphique :







en extension, les événements suivants :
B = « Le brûleur tombe en panne durant l’hiver » ;
B = {(0,1), (1,1)}.







P = « La pompe tombe en panne durant l’hiver » ;
P = {(1,0), (1,1)}.




C= « Le système de chauffage passe l’hiver sans panne ».
C = {(0,0)}.







Donnez en plus de la description en extension, la signification et/ou la définition des événements suivants :
P(B ;
P(B = {(1,1)} = «La pompe et le brûleur tombent tous deux en panne durant l’hiver ».
P(B ;
P(B  = {(1,0), (0,1), (1,1)} = «Le système est tombé en panne durant l’hiver ».
C(P;
C(P = ( , il est impossible pour le système de fonctionner tout l’hiver (C) quand la pompe a connu une défaillance (P). Ces deux événements sont dits disjoints.
P( EMBED Equation.3 .
P( EMBED Equation.3 est facile à vérifier, on dit que P implique  EMBED Equation.3  : en effet si la pompe casse, le système ne fonctionne pas.

La probabilité de panne de la pompe est P(P) et celle du brûleur, P(B), les pannes sont indépendantes. Si P(P) = 0,10 et P(B) = 0,05.

Quelle est la probabilité :
que l’on ait froid pendant l’hiver ?

P(B  = {(1,0), (0,1), (1,1)} = «Le système est tombé en panne durant l’hiver. »
= P(P) + P(B) – P(P(B) = P(P) + P(B) – P(P) . P(B) = 0,10 + 0,05 – 0,10 . 0,05 = 0,145.

que l’on doive réparer simultanément les deux composants du système ?

P(P(B) = P(P) . P(B) = 0,10 . 0,05 = 0,005.
Exercice 2.6
Dans une population de jeunes, il y a 40% de fumeurs et 30% atteints par une maladie respiratoire. Parmi les fumeurs 60% sont atteints par la maladie.

Quelle est la probabilité pour que quelqu’un atteint par la maladie soit également fumeur ? (N.B. Modélisez la résolution du problème d’au moins deux façons différentes).

Soit F = « Etre fumeur. ». P(F) = 0,4.
Soit M = « Etre malade. ». P(M) = 0,3.
Et P(M/F) = 0,6.
Soit NF = «  Etre non fumeur. » et NM = « Etre en bonne santé. ».


P(F/M) =  EMBED Equation.3 .

SOLUTION PAR LE DIAGRAMME EN ARBRE
En noir, données de l’énoncé et de la théorie
Probabilités jointes

















( P(F/M) =  EMBED Equation.3 .
Exercice 2.7
Un circuit particulier dans un système de sécurité d’un avion ne fonctionne que si les composants C1 et C2 ne tombent pas en panne. Il suffit qu’un seul soit en panne pour que le circuit ne fonctionne pas
C1 tombe en panne avec une probabilité (1 (0