Matière A VOIR au cours Analyse 1 au 1er quadrimestre 2009-2010,

Matière A VOIR au cours Analyse 1 au 1er quadrimestre 2009-2010,
suivie de
Matière A VOIR au cours Analyse 1 au 2ème quadrimestre 2009-2010.
Document NON officiel, mis à jour le 30 oct. 09: toutes les infos
concernant des dates ultérieures à celle-ci sont sujettes à modification
(en particulier pour les dates), mais constituent néanmoins une assez
bonne approximation.
Jour de congé pour le cours: mardi gras 16 Fév.
Ci-dessous: écriture abrégée et (parfois) sans accents (ceci n'est pas un
texte rédigé !).
Matière entre { }= donnée pour information, ne fait pas partie de la
matière d'examen.
Matière entre [ ]= non donnée cette heure-là; sm= semaine m ; hn= heure n.
Responsable coordination des exercices : Jean-Luc MICHEL.
Permanences d'analyse:
par Jean-Luc MICHEL les jeudis à partir de 13h au UA6.212 (jour à
confirmer!)
Guidances de maths: les lundis, mardis et mercredis midis au UA6.118A
s1: (cours: 6 oct. 09)
*h1: Intro A... Plan de cours (informations à lire...à relire....) site à
consulter:
http://www.ulb.ac.be/polytech/mathfsa/,onglet "enseignement".
Intro B... Pourquoi les maths?, modélisation et nécessité de garder un
esprit critique vis-à-vis du modèle...(maîtrise des maths pour modéliser,
critiquer le modèle et résoudre le problème math).
Intro E... *Comment étudier?: au fur et a mesure, en s'accrochant, en se
posant des ? et en en posant aux autres (condisciples, étudiants-
assistants, assistants, aux guidances, permanences, séances d'ex., cours)
Ne pas attendre d'avoir beaucoup de questions pour aller aux guidances ou
aux permanences !!!
Ne pas paniquer, ne pas désespérer, même si impression d'être dépassé,
perdu, l'assimilation est progressive. Ne pas non plus se laisser bercer
par des mots familiers, des dessins semblant clairs (si le dessin semble
clair, êtes-vous capables d'expliquer le tout en mots, correctement, avec
précision?) Attention: c'est un exercice difficile, auquel vous êtes en
général peu entraînés, ...et c'est crucial pour réussir les examens!
Le cours:
Chap. 1: (1.2) rationnels, réels, R0, R+
(1.4, 1.5) intervalles et demi-droites, ensembles connexes dans R, dans R
complété.
(1.1) inégalités et +,-,*
(1.9) Valeur absolue et inégalité triangulaire (aussi si n termes,
aussi en nD)
(1.6, 7, 8) majorants, sup et max, minorants, inf et min.
*h2: ensemble borné dans R, suprémum (= borne supérieure) et infimum (=
borne inférieure)
Chap. 2: (2.3) lim f(x) pour x> ? (déf. avec ?...)
(2.4) notion de suite de nombres réels, suprémum d'une suite, suite bornée
s5 (cours: 13 oct 09) (Altaïr samedi: Halleux, Hôtel de ville) ----------
--------------------
*h3: (2.4.1) déf. de limite d'une suite réelle dans R (avec ? ...).
Ex. de suites dont on peut prouver la convergence en termes de ? , N.
(2.4.2) déf. de limite d'une suite dans R complété, exemples.
(2.4.4) suite convergente dans R => bornée (dém),
(si A non borné supérieurement dans R, sup A:= +?)
Rem. : pour une suite croissante: pas bornée conv. vers +? .
(2.4.5, 6) toute suite croiss. (bornée ou non) conv. vers son sup (dem si
bornée),
application: (=exemple lié à la série deMcLaurin de e en x=1).
En général, ne pas se fier au comportement des 1ers termes (contrairement
à ce que laissent croire les tests de "QI") [ ex(2.10.9): limite nulle de
la suite des mesures des boules unités en dim n)]
[Négation de un > l en termes de epsilon, N].
*h4: (2.7 & ConFond) règles de calcul des lim. de suites: (2.7.5) y
compris:
vn est non nul pour presque tout n dès que lim vn est non nulle (dém).
(2.7.6) Justification de l'usage de la règle de l'Hospital pour des suites
(discrètes) (=suites de nombres, plutôt que des fonctions d'une variable
réelle!).
(2.8.1) comportement asymptotique de suites: équivalence ~, o, O.
Comparaison entre quotient >1 & différence > 0 (dem).
(2.8.3) Complexité d'algorithmes (ex: algorithme d'Euclide pgcd(n,m),
algorithme pour multiplier matrices nxn, ...).
s6: (cours: 20 oct 09) -------------------------------------------------
--------------------------
*h5: Tout "0(n2.376)" est un "O(n2.5)";
NB: dans "=O(x n)", le"=" n' est pas une équivalence ( plutôt une
abréviation qu'une égalité!)
(2.8.4) ~, o, 0 pour les fcts d'une variable réelle (et x>+?)
(2.8.6 I & IV) Droites & courbes asymptotes (dem. d'une CN non S pour
asymptote oblique)
{(2.7.8) suite de Fibonacci & application au nb de manières de gravir un
escalier par pas simples ou doubles} {googol=10100}. (2.9.3) suite
partielle, queue de suite.
(2.10.1) croissance exponentielle, «croissance» logistique.
*h6: (2.10.4) limsup:= la plus grande limite de suite partielle;
liminf:= la plus petite limite de suite partielle;
si une suite conv., alors toutes ses suites partielles conv. vers la même
limite,
(donc si 2 suites partielles ont des limites différentes, alors la suite ne
peut pas conv.)
(2.10.2) {autre définition: limsup:= lim des sup de queues de suites,
cette suite de sup de queues de suite est décroissante, d'où l'} existence
de limsup (dans R) d'une suite bornée;
(limsup =+? ssi suite non bornée supéreurement); liminf:=lim des inf de
queues de suites, (liminf = -infini ssi suite non bornée inférieurement).
-? ? inf u n ? liminf u n ? limsupu n ? sup u n ? +?
.Extrait du chap. 1 (utile pour (2.12, 13),etc...):
(1.10) boule ouverte, boule fermée, sphère en dim n .
(1.11) pt intérieur, intA, pt adhérent, adhA, pt frontière, frA. [(pas vu:
pt d'accumulation)]
(1.13) ouvert, fermé. NB: F est fermé ssi la lim de toute suite conv. de
points de F est dans F.
On prouve que: toute boule ouverte est ouverte, donc égale à son intérieur,
mais l'intérieur d'un cercle (au sens topologique) est vide!
Voisinage de a:= ensemble dont a est point intérieur.
s7: (TP1= suites 1: lim, lim partielles) (cours: 3 nov 09) ---------------
--
*h7: retour au Chap. 2: (2.11): lim f(x) pr x> a (définition, exemples)
(2.11.5): lim à gauche ou à droite,
(2.11.6): lim f(x) pour x>a & lim de suites f(xn) pour xn > a.
(2.12.1): Fonction continue en un pt (de son dom.), discont. élimin., de
1ère espèce, de 2de espèce.
(2.12.3,4): continuité & f ? lim.
(2.12.2) sin(1/x) est continue s/(R0), mais ne peut pas être prolongée en
une fonction continue s/R.
*h8: (2.13): ~, o(g(x)), 0(g(x)) pour x>a,
xn = o(x) pour n>1 & x>0 (termes prédominants dans polynôme en x-a pour
x>a)
(2.14): limites de sommes, produits, composées de fonctions,
continuité des sommes, produits, composées de fonctions continues.
Fonction élémentaire (déf).
(2.15): fonction monotone. Fonction strictement monotone =>injective,
réciproque fausse!
Si f est croissante: lim f(x) (pour x>a, xa,x