I. La théorie des fractales

La complexité des formes des objets naturels résulte généralement de processus
..... L'érosion est la dislocation, le déplacement et le transport de matériaux, sous
... cette technique est très utilisée pour la conception de paysages artificiels dans
les .... L'examen de la ramification des bronches dans les poumons peut nous ...

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Les formes fractales dans la nature
Introduction : 2
I. La théorie des fractales 3 A. Origine de la théorie 3
1. Historique 3
2. La côte de Grande-Bretagne 3
B. Un objet fractal, qu'est-ce que c'est? 4
1. Introduction. 4
2. Les objets fractals 4
3. Calcul de la dimension fractale 5
4. Les méthodes de l'analyse fractale 6
C. Et dans la réalité ? 8
1. Universalité 8
2. Le rôle du hasard 8
3. La limite de l'invariance d'échelle 9 II. Les formes fractales en géologie 10 A. Les côtes rocheuses 10
1. Le caractère fractal des côtes 10
2. La dimension D 10
3. Applications 11
4. Comment une côte rocheuse acquiert-elle un caractère fractal ?
11
B. Montagnes 11
C. Nuages 12
D. Oxyde de manganèse 12
E. Réseaux fluviaux 13 III. Les formes fractales dans le monde vivant 14 A. Chez les végétaux 14
1. Le chou romanesco et le chou-fleur 14
2. Les fougères 15
3. L'origine des formes fractales végétales 15
4. Les L-systèmes 15
B. Les fractales dans les poumons 16
1. Introduction 16
2. Quelques généralités 16
3. La configuration des poumons 16
C. Coquillage et triangle de Sierpenski 18 Conclusion : 19
Annexes : 20
Bibliographie : 22 Introduction : Quels points communs y a-t-il entre un arbre, des nuages, une côte
rocheuse, nos poumons, et encore bien d'autres objets de la nature ?
Jusque dans les années 1970 personne ne soupçonnait qu'une universalité
puisse exister entre toutes ces formes de la nature. Les scientifiques se
limitaient à la géométrie euclidienne pour les étudier. Cependant, grâce à
la découverte par B. Mandelbrot de la théorie fractale qui étudie les
objets complexes, une nouvelle description de ces formes naturelles a pu
être établie, description parfois plus pertinente que celle donnée par la
géométrie traditionnelle. La géométrie fractale a donc montré les limites
de la géométrie euclidienne pour décrire des objets complexes, elle a
offert de nouvelles perspectives aux sciences et de nombreuses
applications.
Le terme « fractale » vient du latin « fractus » qui désigne un objet
fracturé, de forme très irrégulière. C'est Mandelbrot qui a introduit ce
terme pour désigner ces fameux objets mathématiques. L'adjectif fractal
prend son pluriel en -als : « fractals », de la même façon que « banal » et
les six autres exceptions du français auxquelles il vient s'ajouter. Le nom
est au féminin, évitant toute ambiguïté.
Mandelbrot a formalisé la théorie fractale et son vocabulaire, la théorie
s'est vite avérée utile dans de nombreuses disciplines, notamment dans la
compréhension de certains phénomènes naturels.
En effet, les objets mathématiques purs de la théorie fractale ont des
correspondances étonnantes avec certains phénomènes géologiques naturels
ainsi qu'avec le monde vivant.
Où trouve-t-on des formes fractales dans la nature et comment sont-elles
apparues ? Les réponses à ces questions ont été le fruit de nombreuses
recherches que nous tenterons de synthétiser.
La théorie des fractales
1 Origine de la théorie
1 Historique
De nombreuses notions mathématiques ont d'abord été considérées comme des
« monstres mathématiques », avant d'être domestiquées, offrant alors de
nouvelles perspectives et de nombreuses découvertes. Il en a été ainsi chez
les pythagoriciens avec l'apparition des nombres irrationnels, à la
Renaissance avec celle des nombres négatifs et des nombres complexes, et au
XIXème siècle avec l'exigence de rigueur de plus en plus poussée qui remit
en cause beaucoup d'énoncés admis jusque là sans démonstration.
Les objets fractals, eux aussi, ont pendant longtemps été considérés
comme des monstres, et le sont encore parfois aujourd'hui.
De 1875 à 1925, l'idée se répandit que les mathématiciens comme Cantor,
Peano, Von Koch, Hausdorff étaient faiseurs d'objets pathologiques : ils
créaient des objets que la nature ne connaissait pas, remettant en question
la géométrie euclidienne et les notions de fonction et de dimension.
Un exemple de monstre est l'existence mathématique de courbes continues
ayant de nombreux points sans dérivée. Ces monstres ne trouvèrent alors ni
théorie ni application. 4 La côte de Grande-Bretagne En 1961, Lewis Fry Richardson s'intéresse à la mesure empirique de la
côte de Grande-Bretagne : comment mesurer, avec une bonne précision, la
longueur d'une côte comme celle de la Grande-Bretagne ?
La méthode la plus approximative consiste à mesurer la distance entre les
deux extrémités de la côte : cette approximation est sûrement inférieure à
la distance réelle (qui tient compte de la complexité du relief).
Richardson comprend que la meilleure méthode semble être de définir un
étalon, par exemple une barre de 1 m de longueur, et de parcourir la côte
en reportant bout à bout la barre et d'en compter le nombre d'occurrences
d'un point à l'autre entre lesquels on veut estimer la longueur de la côte.
Si on utilise une barre 10 fois plus petite, elle pourra pénétrer plus
précisément dans les recoins dessinés par la côte, la longueur mesurée sera
alors plus précise, donc plus longue. Si l'on utilise une barre de 1
micron, on pourra alors contourner jusqu'aux moindres grains de sable et la
mesure en sera d'autant plus précise. Ainsi, plus l'étalon utilisé est
petit, plus la longueur mesurée est précise et longue, un segment
infiniment petit donnerait une distance infiniment grande. Lewis Fry
Richardson établit ainsi que la longueur d'une côte en fonction d'un étalon
de longueur n est proportionnelle à n(. La valeur de l'exposant ( dépend de
la côte choisie. Aux yeux de Richardson, ( était sans signification
particulière.
Dans les années 1970, c'est Benoît Mandelbrot, mathématicien français,
qui donna un sens à ( en le définissant comme D, la dimension fractale.
Mandelbrot élabora la théorie fractale expliquant les monstres
mathématiques des siècles précédents et ouvrant de nombreuses perspectives
et applications. Cette dimension D permit entre autre de caractériser la
complexité d'une côte ou de n'importe quel objet fractal, offrant un
nouveau critère de comparaison plus pertinent que la longueur. La dimension
fractale permettra de quantifier, de mesurer les formes, les géométries,
mettant en valeur le caractère universel de ces formes.
La théorie trouva ensuite de nombreuses applications (et en trouvera
probablement encore) en géologie, en biologie, en physique, mais aussi en
design, photographie et cinématographie. 2 Un objet fractal, qu'est-ce que c'est?
1 Introduction. Nous sommes tous habitués aux objets de la géométrie euclidienne: aux
droites, aux rectangles, aux cubes...Ils nous permettent de décrire
simplement ce que l'on trouve dans la nature. Ainsi, les troncs d'arbres
sont approximativement des cylindres et les oranges des sphères. Mais, face
à des objets plus complexes tels que les nuages, les côtes rocheuses, les
feuilles, les reliefs, un flocon de neige, un chou-fleur, la géométrie
euclidienne est inadéquate, on fait donc appel à la géométrie fractale.
La géométrie fractale est donc un langage utile pour décrire les formes
complexes, et permet la description de processus non linéaires. Dans un
processus linéaire, on peut déduire un chiffre de ceux qui le précèdent.
Lorsque ce n'est pas possible, on fait appel à la notion de hasard. Par
exemple, la trajectoire d'un dé relève du hasard. En fait, elle résulte de
causes imperceptibles amplifiées par le lancement du dé. Le résultat est un
processus chaotique.
La complexité des formes des objets naturels résulte généralement de
processus simples, souvent récursifs. Ainsi c'est grâce à l'informatique
que l'étude des fractales s'est développée. Exemples : L'ensemble de Cantor aléatoire L'ensemble de Cantor
régulier
[pic]
A chaque étape, on enlève 1/3 de la bande noire au hasard. La figure
obtenue au bout de la 6ème étape est un ensemble invariant d'échelle,
déterministe (cas où l'on enlève toujours le tiers du milieu) ou non ( si
l'on enlève, comme ici le tiers au hasard). Très vite au cours des
itérations les segments deviennent de plus en plus fins, aboutissant à la
"Poussière de Cantor". 2 Les objets fractals
1 Notion de dimension fractale et d'invariance d'échelle Dans la géométrie classique, une ligne est un objet à une dimension, une
surface un objet à deux dimensions, un volume un objet à trois dimensions.
Nous sommes donc habitués à des objets dont la dimension (D) est un nombre
entier 1, 2 ou 3. Mais il n'est pas précisé quelle serait la dimension
d'une série de points sur une ligne, une courbe irrégulière et plane, une
surface pleine de convolutions. Dans ce but le terme de dimension fractale
a été introduit par B. Mandelbrot en 1970. La dimension fractale est donc
un nombre qui mesure le degré d'irrégularité ou de fragmentation d'un objet
ou qui mesure la rugosité d'une surface. La dimension fractale est une
fraction ou un nombre irrationnel ((, 1.23, etc.) ou un entier (Peano). Une
analogie permet de mieux comprendre ce concept : la composition d'une
famille moyenne au Canada est de 2.2 enfants, quelle est la signification
du 0.2 enfant ?
Cette notion de dimension fractale s'applique aux objets invariants
d'échelle : on y trouve des parties qui sont semblables à l'objet lui-