Exo1 Galileo 5pts Correction

2007 Polynésie Exercice 1 : GALILEO (5 points) Correction
http://labolycee.org © I- Mouvement du satellite Giove-A autour de la Terre I.1. a. Schéma ci-contre.
I.1.b. Force d'attraction gravitationnelle
exercée par la Terre sur le satellite Giove-A :
[pic]
I.2.a. Le mouvement du satellite est décrit par rapport au centre O de la
Terre, soit par rapport dans un référentiel géocentrique.
I.2.b. La seconde loi de newton s'applique dans un référentiel galiléen. Le
référentiel géocentrique doit être galiléen (le principe d'inertie s'y
vérifie expérimentalement).
I.2.c. La seconde loi de Newton appliquée au système satellite, dans le
référentiel géocentrique s'écrit : [pic]
Soit [pic]
[pic]
I.3.a. Pour un mouvement circulaire uniforme le vecteur accélération [pic]
est centripète :
- point d'application : G
- direction : rayon OG
- sens : de G vers O
- valeur : a = [pic] où R est le rayon de la trajectoire
(R = h + RT ).
I.3.b. D'après I.3.a. l'accélération a pour valeur a = [pic] et d'après
I.2.c. [pic] = a = [pic]
Soit [pic]
v² = G[pic] avec R = RT + h
I.4.a. La période de révolution T du satellite est la durée que met le
satellite pour faire un tour autour de la Terre.
Le satellite parcourt la distance d = 2(R pendant une durée T, donc T =
[pic].
En remplaçant v par l'expression obtenue en I.3.b et en élevant au carré,
il vient : T² = [pic]
T² = [pic] donc T = [pic] avec R = RT + h
I.4.b Attention, il faut convertir les distances en mètres.
T = [pic] = 5,16×104 s
II- Comparaison avec d'autres satellites terrestres
II.1.a
|Satellite |Rayon de la |Période de |R3 (km3) |T² (s²) |
| |trajectoire |révolution | | |
| |R (km) |T (s) | | |
|GPS |20,2×103 |2,88×104 |8,24×1012 |8,29×108 |
|GLONASS |25,5×103 |4,02×104 |1,66×1013 |1,62×109 |
|GALILEO |RT + h |5,16×104 |2,69×1013 |2,67×109 |
| |= 6,38×103 + |voir I.4.b | | |
| |23,6×103 | | | |
| |= 30,0×103 | | | |
|METESAT |42,1×103 |8,58×104 |7,46×1013 |7,36×109 |
II.1.b T² = 2,67(109 = 26,7(108 s²
II.2.a. La courbe représentative de T² = f(R3) est une droite passant par
l'origine, on en déduit que T² est proportionnelle à R3.
II.2.b. À la question I.4.a., on a obtenu T² = [pic], soit T² = K.R3,
avec K constante de proportionnalité égale à [pic] = [pic] = 9,90(10-14
s².m-3. Déterminons le coefficient directeur k de la droite tracée et comparons sa
valeur à celle de K :
on choisit deux points situés sur la droite : A de coordonnées (RA3 = 0 km3
= 0 m3 ;TA² = 0 s²)
et B de coordonnées (RB3 = 7.1013 km3 = 7.1022
m3 ; TB² = 70(108 s²)
Attention, il faut exprimer R3 en m3.
|km3 |hm3 |dam3 |m3 |
| |7 | | | | | | | | | | | | |7 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 | |7 km3 =
7(109 m3 donc R3 = 7.1013 km3 = 7.1013(109 = 7(1022 m3 k = [pic] = [pic] = 1(10-13 s².m-3
En exprimant K avec autant de chiffres significatifs que k, on a K =
0,990(10-13 = 1(10-13.
On obtient k [pic] K donc la relation obtenue au I.4.a. est en accord avec
la droite tracée. II.2.c. La loi mise en évidence est la troisième loi de Képler.
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O G [pic] [pic] A Galiléo B