UNIVERSITE DE POITIERS, LES ETUDES ET LA RECHERCHE EN ...

UNIVERSITE DE POITIERS,
LES ETUDES ET LA RECHERCHE EN MATHEMATIQUES HERVE SABOURIN,
Département de Mathématiques,
Université de Poitiers, Téléport 2, BP30179,
86962, Futuroscope-Chasseneuil, France,
sabourin@math.univ-poitiers.fr Abstract : l'objectif de ce texte est de donner un aperçu aussi précis que
possible du Laboratoire de Mathématiques de L'université de Poitiers et de
ses activités ; seront présentés ici l'accueil des étudiants et la
formation à la recherche, les thèmes de recherche des équipes composant le
laboratoire, les modalités de fonctionnement , séminaires, groupes de
travail, sans oublier les activités internationales.
Le Laboratoire de Mathématiques de L'Université de Poitiers a pour double
objectif de développer une Recherche Fondamentale en Mathématiques et de
promouvoir une Recherche Appliquée en privilégiant autant que possible des
interactions avec les sciences expérimentales.
L'une de ses missions naturelles est donc d'accueillir des jeunes étudiants
français ou étrangers pour les initier puis les former à la Recherche. La
diversité des pays d'origine des jeunes chercheurs intégrant le
Laboratoire est sans nul doute un immense atout pour tous car elle
favorise les échanges et le dialogue, données incontestables du
rayonnement scientifique. L'accès à la Recherche : Le MASTER de Mathématiques. La formation scientifique à l'université est dorénavant organisée selon le
système L (licence), M (master), D (doctorat), comme le montre la diagramme
suivant (fig.1) :
ORGANIGRAMME DES ETUDES
DE MATHEMATIQUES
[pic] (fig.1)
L'accès à la recherche, c'est-à-dire la préparation d'une thèse de
doctorat, ne peut se faire de manière satisfaisante sans l'acquisition
préalable de connaissances solides : c'est l'un des objectifs du MASTER.
La première année du Master a pour but essentiel d'assurer un socle de
connaissances de bases nécessaire pour la suite et s'articule autour des
enseignements suivants :
(fig.2)
(fig.3) La deuxième année de Master est consacrée à une initiation à la recherche
et s'organise ainsi : . Trois cours de premier niveau.
. Un cours de second niveau sur un thème en développement.
. Présentation d'un mémoire comme validation de stage. La thèse de Doctorat. Chaque étudiant admis à préparer une thèse de doctorat devra produire un
travail original sur un sujet proposé par un enseignant-chercheur du
laboratoire, habilité à diriger des recherches.
Le sujet proposé étant issu des thèmes de recherche développés par le
laboratoire, le doctorant sera intégré dans l'équipe travaillant dans le
même domaine et pourra ainsi profiter de contacts scientifiques fructueux
avec ses collègues. Il participera aussi aux séminaires et groupes de
travail qui ont lieu chaque semaine dans le laboratoire et sera amené à y
faire régulièrement des exposés. Il pourra également disposer librement de
la bibliothèque de recherche qui est actuellement l'une des plus
importantes bibliothèques scientifiques de la Région.
Sa formation sera enfin complétée par des modules de professionnalisation,
dispensés par l'Ecole Doctorale de l'université de Poitiers, dont la
finalité est la préparation à la vie active et l'apprentissage au métier de
chercheur.
La soutenance est en principe prévue au bout de 3 ans et les résultats sont
publiés dans des revues mathématiques à caractère international.
Les activités scientifiques du laboratoire. (fig.4) Le Laboratoire de Mathématiques est une Unité de Recherche du Centre
National de la Recherche Scientifique (CNRS). Il est composé de 42
chercheurs et 11 doctorants. Ses activités scientifiques sont largement
diversifiées (la figure 4 çi-dessus est un exemple de préoccupation de
certains membres du laboratoire, à savoir l'étude géométrique de certaines
orbites, dites coadjointes , sous l'action d'un Groupe de Lie semi-simple -
dans le cas présent, il s'agit du groupe SL(2)-). Il est réparti en 6 équipes travaillant respectivement sur les sujets
suivants : . Groupes et Algèbres de Lie, Analyse Harmonique et Théorie des
Représentations. L'analyse harmonique sur les groupes de Lie est une généralisation non
commutative de l'analyse de Fourier classique. Elle a des implications dans
de nombreux domaines, dont la physique théorique (méthode des orbites et
quantification) et la théorie des nombres (Programme de Langlands). Les
recherches menées dans ce domaine à Poitiers concernent :
- Les Groupes de Lie réels : méthode des orbites et construction de
représentations unipotentes de groupes de Lie semi-simples,
distributions invariantes et intégrales orbitales avec application à
l'étude des opérateurs différentiels invariants, formule de
Plancherel pour les groupes de Lie généraux.
- Les Groupes de Lie p-adiques : Théorie des immeubles et
représentations des formes intérieures du groupe linéaire,
intégrabilité des caractères de ces représentations, transfert
d'intégrales orbitales dans le cadre du programme de Jacquet-
Langlands, distributions invariantes.
- Les Algèbres de Lie et la Théorie des invariants : variété commutante
de certains espaces symétriques associés à des algèbres de Lie
réductives, indice des algèbres de Lie, déformations de variétés de
Schubert en variétés toriques. . Géométrie de Poisson et Systèmes intégrables. Les variétés de Poisson apparaissent comme les espaces naturels de la
mécanique classique (configurations des masses newtoniennes, corps solides)
et de la mécanique des fluides (ondes linéaires et non-linéaires,
solitons). La structure de Poisson, décisive pour l'intégrabilité, est
aussi la clef pour le passage entre la mécanique classique et la mécanique
quantique. Notre équipe a contribué, dans ce domaine, à l'étude des
obstructions à la quantification à l'aide de calculs de cohomologie de
Poisson en petite dimension. La recherche en géométrie différentielle et
algébrique est depuis quelques années largement inspirée par la mécanique
intégrable ; En nous inspirant d'idées venant de la théorie des systèmes
intégrables, nous avons mis au point des techniques permettant de calculer
des prolongements projectifs de tores complexes, ce qui semble impossible à
faire avec des techniques purement géométriques ou algébriques.
. Géométrie et Analyse complexe. Les thèmes de recherche envisagés par cette équipe recouvrent les deux
aspects suivants :
- l'aspect analytique : formules intégrales d'opérateurs et noyaux
intégraux.
- L'aspect géométrique : courants positifs, géométrie C.R. ,
géométrie des domaines pseudoconvexes et métriques invariantes,
systèmes dynamiques holomorphes et automorphismes analytiques.
. Calcul formel et Algèbre effective. L'activité génératrice de cette équipe est l'étude de méthodes explicites
dans les domaines de l'algèbre commutative, de la géométrie algébrique et
de la combinatoire. Une caractéristique de cette activité est l'approche
concrète des structures et des objets étudiés de façon à permettre
l'implémentation d'algorithmes de calcul. Les thèmes suivants sont
revisités selon cet objectif :
- En algèbre commutative : anneaux de
Dedekind, Théorie de la dimension.
- En Géométrie Algébrique : Etude des
Variétés Toriques, algorithmes de calcul de
résidus algébriques via le Bezoutien, Théorie
des courbes algébriques en liaison avec la
cryptographie.
- En Combinatoire : Règle de Littlewood-
Richardson, correspondance algorithmique de
Robinson-Schensted. De plus, une partie de l'équipe s'intéresse également, en collaboration
avec des informaticiens du laboratoire SIC, à des méthodes effectives en
topologie algébrique des surfaces : décomposition de surfaces polygonales
et application en infographie. . Probabilités et Statistiques. Les activités de cette équipe s'articulent autour des thèmes suivants : - Calcul Stochastique et Analyse harmonique sur les variétés : Il
s'agit de l'étude par des méthodes probabilistes de l'équation de
la chaleur pour les fonctions, pour les formes linéaires ou pour
les connexions dans les fibrés.
- Calcul Stochastique réel : Il s'agit de théorie des martingales,
d'étude des équations de structure et de la représentation chaotique
des martingales.
- Valeurs propres des matrices aléatoires gaussiennes : On obtient le
processus des valeurs propres du mouvement Brownien à valeurs dans
les algèbres de Lie semi-simples grâce à une transformation
déterministe des trajectoires d'un mouvement Brownien dans l'algèbre
de Cartan.
- Théorie Ergodique : On essaie de déterminer les mesures sur les tores
qui sont conservées par deux transformations linéaires à coefficients
entiers. On étudie aussi certaines suites convergentes d'entiers
algébriques à l'aide de la théorie des Langages.
- Statistiques : Les recherches portent essentiellement sur