Bac maths S 2001 - National

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Bac S 2001 - Sujet national

Exercices : barycentre, complexe, arithmétique – Problème : fonction logarithme.

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BACCALAUREAT GENERAL Session 2001
Epreuve: MATHEMATIQUES

Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9
OBLIGATOIRE et SPECIALITE

L'utilisation d’une calculatrice est autorisée
Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques, prévu par l'arrêté du 27 mars 1991, et deux feuilles de papier millimétré sont joints au sujet.
Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4.

EXERCICE 1 commun à tous les candidats

Soient trois points de l'espace A, B, C non alignés et soit k un réel de l'intervalle [-1 ; 1].
On note Gk le barycentre du système {(A, k2+1), (B, k), (C, -k)}.
1. Représenter les points A, B, C, le milieu de I de [BC] et construire les points G1 et G-1.

2. a. Montrer que pour tout réel k de l'intervalle [-1 ; 1], on a l'égalité :
EMBED Unknown.
b Etablir le tableau de variation de la fonction f définie sur [-1 ; 1] par f(x) =  EMBED Equation.3 .
c. En déduire l'ensemble des points Gk quand k décrit l'intervalle [-1 ; 1].

Pour la suite de l'exercice, aucune figure n'est demandée sur la copie.
3. Déterminer l'ensemble E des points M de l'espace tels que : EMBED Unknown=EMBED Unknown.

4. Déterminer l'ensemble F des points M de l'espace tels que :
EMBED Unknown=EMBED Unknown.

5. L'espace est maintenant rapporté à un repère orthonormal (O,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ). Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives (0 ; 0 ; 2), (-1 ; 2 ; 1) et (-1 ; 2 ; 5).
Le point Gk et les ensembles E et F sont définis comme ci dessus.
a. Calculer les coordonnées de G1 et G-1. Montrer que les ensembles E et F sont sécants.
b. Calculer le rayon du cercle C intersection de E et F.
EXERCICE 2 pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité


Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ) [unité graphique : 6 cm].
On considère la transformation f du plan qui a tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' définie par :
z’ = z EMBED Equation.3 
et on définit une suite de points (Mn) de la manière suivante:
M0 a pour affixe z0 =  EMBED Equation.3  et pour tout entier naturel n, Mn+1 = f(Mn). On appelle zn l'affixe de Mn.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f. Placer les points M0, M1, M2.

2. Montrer que pour tout entier naturel n, on a l'égalité :
zn =  EMBED Equation.3 
(on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).

3. Soient deux entiers n et p tels que n soit supérieur ou égal à p, montrer que deux points Mn et Mp sont confondus si et seulement si (n - p) est multiple de 12.

4. a. On considère l'équation (E) : 12x - 5y = 3 où x et y sont des entiers relatifs. Après avoir vérifié que le couple (4, 9) est solution, résoudre l'équation (E).

b. En déduire l'ensemble des entiers naturels n tels que Mn appartienne à la demi-droite [Ox).
EXERCICE 2 candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire


Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ) (unité graphique : 6 cm).
On considère la suite ((n) de nombres réels définie par (0 =  EMBED Equation.3  et pour tout entier naturel n, (n+1 = (n +  EMBED Equation.3 .
Pour tout entier naturel n, on appelle Mn le point du cercle C de centre O et de rayon 1 tel que l'angle EMBED Unknownait pour mesure (n.

1. Placer les douze points M0, M1, M2, ..., M11.

2. On appelle zn l'affixe de Mn. Montrer que pour tout entier naturel n, on a l'égalité :
zn =  EMBED Equation.3 .

3. a. Montrer que pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes :
- les points Mn et Mn + 6 sont diamétralement opposés ;
- les points Mn et Mn + 12 sont confondus.

b. Montrer que pour tout entier naturel n, on a l'égalité zn+4 = EMBED Equation.3 .
En déduire que la distance Mn Mn + 4 vaut  EMBED Equation.3  puis que le triangle Mn Mn + 4 Mn + 8 est équilatéral.
On admettra que tous les triangles équilatéraux ayant pour sommets des points Mn sont de la forme Mn Mn + 4 Mn + 8.

4. Douze cartons indiscernables au toucher, marqués M0, M1, M2, ..., M11, sont disposés dans une urne.
On tire au hasard et simultanément trois cartons de l'urne. Calculer la probabilité d'obtenir les trois sommets d'un triangle équilatéral.
PROBLEME commun à tous les candidats

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ;  EMBED Equation.2 ,  EMBED Equation.2 ). Toutes les courbes demandées seront représentées sur un même graphique (unité graphique : 2 cm).

A - ETUDE D'UNE FONCTION f

On définit la fonction f sur ]0, + ([ par f (x) = EMBED Equation.3 .
1. Calculer les limites de f en 0 et en + (.
2. Etudier le sens de variation de f sur ]0, + ([.
3. Soit C la courbe représentative de f dans (O ;  EMBED Equation.2 ,  EMBED Equation.2 ) et A le point de C d'abscisse 3.
Calculer l'ordonnée de A. Soit B le point de C d'abscisse  EMBED Equation.3 , P le projeté orthogonal de B sur l'axe (O ;  EMBED Equation.2 ) et H le projeté orthogonal de B sur l'axe (O ;  EMBED Equation.2 ).
Déterminer les valeurs exactes des coordonnées des points B, P et H. Placer les points A, B, P et H dans le repère (O ;  EMBED Equation.2 ,  EMBED Equation.2 ) et représenter la courbe C.

B - UTILISATION D'UNE ROTATION

Soit r la rotation de centre O et d'angle  EMBED Equation.3 . A tout point M du plan d'affixe z, la rotation r associe le point M' d'affixe z'.

1.a. Donner z' en fonction de z.
On note z = x + iy et z' = x' + iy' (x ,y, x' ,y' réels), exprimer x' et y' en fonction de x et y, puis exprimer x et y en fonction de x' et y'.
b. Déterminer les coordonnées des points A', B' et P' images respectives des points A, B et P par la rotation r.

2. On appelle g la fonction définie sur R par g(x) = e-2x + 2 e-x et ( sa courbe représentative dans le repère (O ;  EMBED Equation.2 ,  EMBED Equation.2 ).
a. Montrer que lorsqu'un point M appartient à C, son image M’ par r appartient à (.
On admet que lorsque le point M décrit C, le point M’ décrit (.
b. Tracer sur le graphique précédent les points A’, B’, P’ et la courbe ( (l'étude des variations de g n'est pas demandée).

C - CALCUL D'INTEGRALES

On rappelle que l'image d'un domaine plan par une rotation est un domaine plan de même aire.
1. Calculer l'intégrale  EMBED Equation.3 . Interpréter graphiquement cette intégrale.

2. a. Déterminer, en unités d'aire, l'aire A du domaine plan D limité par les segments [AO], [OH] et [HB] et l'arc de courbe C d'extrémités B et A.
b. On pose I =  EMBED Equation.3 .
Trouver une relation entre A et I puis en déduire la valeur exacte de l'intégrale I.








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