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Item 8 ? 2011 - Calculer le volume d'un pavé droit Page 23. - Item 17 ... Item 10 ? 2010 ? Compléter un dessin d'un patron de tétraèdre Page 26 ..... La dévolution d'une telle situation au sein d'une épreuve d'examen apparaît compliquée.


un extrait du document





MATHEMATIQUES



SUIVI DES ACQUIS ET

PREPARATION DES ELEVES

AU DNB



Fascicule 0 : Intentions et méthodologie
Fascicule 1 : Aider des élèves à passer du groupe 0 au groupe 1
Fascicule 2 : Aider des élèves à passer du groupe 1 au groupe 2
Fascicule 3 : Aider des élèves à passer du groupe 2 au groupe 3
Fascicule 4 : Aider des élèves du groupe 3 à progresser notamment sur les items hors échelle

Fascicule 4 
« Aider des élèves du groupe 3 à progresser »
SOMMAIRE
Aider les élèves à passer du groupe 3 à progresser notamment sur les items hors échelle
1) Vérification des items réussis par le groupe 3 Page 4
- Item 9 – 2009 - Calculer une longueur avec la propriété de Thalès Page 5
Item 11 – 2013 - Calculer une longueur avec la propriété de Thalès Page 6
Item 2 – 2009 - Repérer une erreur dans une séquence de touches sur une calculatrice Page 7
Item 3 – 2012 - Effectuer un calcul complexe utilisant des puissances de 10 Page 8
Item 9 – 2013 - Résoudre un problème complexe de prix Page 9
Item 14 – 2013 - Résoudre un problème mobilisant les pourcentages Page 10
Item 16 – 2012 - Résoudre un problème utilisant un pourcentage Page 11
Item 5 – 2010 - Reconnaitre une situation de proportionnalité sur un graphique Page12
Item 10 – 2013 - Reconnaitre une situation de non proportionnalité sur un tableau Page 14
Item 13 – 2010 - Résoudre un problème simple de proportionnalité Page 15
Item 3- 2009 - Lire les coordonnées d’un point Page 16
Item 6 – 2013 - Raisonner sur l’étendue Page 17
Item 2 – 2011 - Evaluer une probabilité Page 18
Item 8 – 2010 - Calculer une aire (par additivité) Page 19
Item 11 – 2010 - Appliquer la formule de calcul du volume d’un tétraèdre Page 20
Item 10 – 2009 - Calculer l’aire d’un rectangle Page 22
Item 8 – 2011 - Calculer le volume d’un pavé droit Page 23
Item 17 – 2012 – Utiliser une vitesse dans un problème Page 24


2) Diagnostic sur les items réussis hors échelle Page 25

- Item 10 – 2010 – Compléter un dessin d’un patron de tétraèdre Page 26
- Item 13 - 2013 – Résoudre un problème mobilisant les fractions Page 27
- Item 9 – 2012 – Engager une démarche correcte sur un problème complexe d’aire Page 28
- Item 3 – 2011 – Tester une égalité Page 29
- Item 4 – 2012 – Traiter les unités de temps dans un problème reliant temps et distance Page 30






3) Travail sur les quatre champs Page 30
I – Géométrie
Constructions en géométrie plane Page 31
Théorèmes fondamentaux Page 33
Espace Page 35
II – Nombres et calculs
Tests, littéral Page 38
Calcul numérique Page 40
Problèmes Page 41
III – Organisation et gestion de données – fonctions
Proportionnalité Page 41
Statistiques et probabilités Page 42
Fonctions Page 44
Usage du tableur Page 45
IV- Grandeurs et mesures
h) Périmètres, aires et volumes Page 48
i) Durées et vitesses Page 49












Les élèves du groupe 3 représentent 15 à 20% des candidats au brevet. Il s’agit du groupe le plus performant ce qui n’empêche pas que certains items ne sont pas réussi par ce groupe. Ce sont les items classés hors échelle.
Même s’il n’existe pas de groupe supérieur au groupe 3, les élèves de ce groupe disposent de deux pistes de progrès possibles :
- Les items hors échelle qui restent dans le cadre du socle commun.
- Les éléments de programme qui ne figurent pas dans le socle commun et qui ne sont pas pris en compte dans le suivi des acquis que nous effectuons.

Les items réussis par les élèves du groupe 3 sont au nombre de dix-neuf et couvrent encore les quatre champs du programme :
« Géométrie » où le travail sur les constructions est achevé mais où il reste à approfondir les théorèmes fondamentaux et en particulier celui de Thalès. Le thème de l’espace reste également à travailler.
« Nombres et calculs » où la réussite devient complète sur le thème Calcule numérique mais pas sur celui intitulé Tests, littéral, problèmes.
« Organisation et gestion de données » où la réussite devient complète sur les trois thèmes.
« Grandeurs et mesures » où la réussite devient complète.








Les items hors échelle se limitent à cinq. L’un concerne l’espace dans le champ Géométrie, trois autres concernent le champ Nombres et calculs et enfin un concerne le champ Grandeurs et mesures.
Le travail à proposer aux élèves positionnés dans le groupe 3 à l’issue du brevet blanc peut donc se construire autour de la progression suivante :
Vérification de la maîtrise des items réussis par le groupe 3.
Diagnostic sur les items hors échelle.
Travail sur les 4 champs visant les exigences du programme qui ne relèvent pas du socle. En particulier :
- Travail algébrique dans le champ Nombres et calculs
- Travail sur les fonctions dans le champ Organisation et gestion de données.

















1 . Vérification de la maîtrise des items réussis par le groupe 3.


Thème théorèmes fondamentaux :
Calculer une longueur avec la propriété de Thalès (Item9 – DNB 2009 - Réussi à 87% par le groupe 3)
Calculer une longueur avec la propriété de Thalès (Item 11 – DNB 2013 - Réussi à 81 % par le groupe 3)

Thème calcul numérique :
Repérer une erreur dans une séquence de touches sur une calculatrice (Item 2 – DNB 2009 - Réussi à 83% par le groupe 3)
Effectuer un calcul complexe utilisant des puissances de dix (Item 3 – DNB 2012 - Réussi à 76 % par le groupe 3)

Thème Problème :
Résoudre un problème complexe de prix (Item9 – DNB 2013- Réussi à 74 % par le groupe 3)
Résoudre un problème mobilisant les pourcentages (Item 14 – DNB 2013- Réussi à 77 % par le groupe 3)
Résoudre un problème utilisant les pourcentages (Item 16 – DNB 2012- Réussi à 86 % par le groupe 3)

Thème proportionnalité :
Reconnaître une situation de proportionnalité sur un graphique (Item 5 – DNB 2010 - Réussi à 66% par le groupe 3)
Reconnaitre une situation de non proportionnalité sur un tableau (Item 10- DNB 2013- Réussi à 84 % par le groupe 3)
Résoudre un problème simple de proportionnalité (Item 13 – DNB 2010 - Réussi à 93% par le groupe 3)

Thème Lecture de graphiques et tableaux :
Lire les coordonnées d’un point (Item 3 – DNB 2009 - Réussi à 91% par le groupe 3)

Thème statistiques et probabilités :
Raisonner sur l’étendue (Item 6 – DNB 2013 - Réussi à 87 % par le groupe 3)
Evaluer une probabilité (Item 2 – DNB 2011- réussi à 77% par le groupe 3)


Périmètres, aire, volumes :
Calculer une aire par additivité (Item 8 – DNB 2010 - Réussi à 69% par le groupe 3)
Appliquer la formule de calcul du volume d’un tétraèdre (Item 11 – DNB 2010 - Réussi à 72% par le groupe 3)
Calculer l’aire d’un rectangle (Item 10 – DNB 2009 - Réussi à 87% par le groupe 3)
Calculer le volume d’un pavé droit (Item 8 – DNB 2011- Réussi à 100% par le groupe 3)

Thème Durées et vitesses :
Utiliser une vitesse dans un problème (Item 17 –DNB 2012 - Réussi à 81 % par le groupe 3)






Item 9 – DNB 2009 : Calculer une longueur avec la propriété de Thalès


Comme les deux items mobilisant le théorème de Pythagore, cet item s’avère très discriminant. La réussite est faible en moyenne et cette fois, seul le groupe 3 affiche une réelle maîtrise de la propriété de Thalès.



On considère un triangle ABC tel que : AB = 17,5 cm ; BC = 14 cm ; AC = 10,5 cm



3) Dans cette question, on suppose que le point P est situé à 5 cm du point B.
a) Calculer la longueur PR.

Critère : seul le calcul et le résultat sont attendus. Comme pour les deux items concernant le théorème de Pythagore, c’est la capacité C3 (raisonnement) qui est évaluée en faisant abstraction dans la mesure du possible de la capacité C4 (communiquer) )




EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 150042520Nb de 930415101Nb de 0681133222Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 134%0%8%44%87%% de 920%27%29%18%4%% de 046%73%63%39%9%

Commentaire :
Après les deux items concernant le théorème de Pythagore, cet item concernant un autre point phare des programmes du collège vient confirmer que les grands théorèmes de géométrie du collège ne sont pas maîtrisés par tous les élèves, loin s’en faut. Cette fois c’est seulement un élève sur trois qui réussit et seuls les candidats du groupe 3 affichent une réelle réussite. Le fait que cet item soit situé à l’intérieur du problème peut expliquer pour une part la proportion élevée de non réponses (46%). Parmi les candidats ayant abordé la question, ils sont 63% à la traiter correctement ce qui est un peu rassurant.

Analyse didactique :
Les réponses correctes s’appuient sur le théorème de Thalès le plus souvent mais parfois aussi sur des considérations d’agrandissement-réduction. Les erreurs apparaissent dispersées entre des quotients mal choisis, des difficultés pour exploiter les égalités obtenues ou des calculs entâchés d’erreur. Elles ne permettent donc pas de faire ressortir des conclusions fortes.





Item 11- DNB 2013 : Calculer une longueur avec la propriété de Thalès

Bien que constituant un point fort des programmes de quatrième et de troisième cet item mal réussi vient confirmer que la propriété de Thalès reste non maîtrisée par la majorité des élèves en fin de collège.

Critère : Démarche correcte sans prise en compte de la rédaction ni d’erreurs éventuelles de calcul. On attend les quotients égaux ou l’expression de la proportionnalité avec une méthode correcte pour calculer SO.




EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 1733103525Nb de 9621129166Nb de 037102340Code 1 :démarche correcte;code 9 :démarche incorrecte;code 0 :non abordé% de 142%13%14%56%81%% de 936%46%40%25%19%% de 022%42%32%6%0%
Commentaire :
Nous disposions d’une première occurrence, datant de 2009, d’un item mobilisant la propriété de Thalès pour calculer une longueur. La réussite est un peu meilleure cette année avec 42% contre 34% seulement en 2009. Mais les groupes 0 et 1 restent en échec massif et seul le groupe 3 est en réussite tout en n’évitant pas, lui non plus, un taux d’erreur assez important à 20%.
Analyse didactique :
L’erreur dominante est de loin celle liée à l’écriture des quotients. C’est donc une erreur de fond qui montre pour la seconde fois, après la première occurrence de 2009, que la maîtrise de la propriété de Thalès, qui constitue pourtant un point phare des programmes des classes de quatrième et troisième, n’est pas assurée pour la majorité des élèves. Ce constat qui n’est pas nouveau est également confirmé par les résultats nationaux du CEDRE de fin de collège.
Quelques rares erreurs autres que celle-ci existent. Ainsi quelques élèves se trompent dans le calcul de AO (confusion avec AL) et d’autres tentent, en général sans succès, une résolution à l’aide d’un calcul de trigonométrie (tangente) qui était a priori possible.
Item 2 - DNB 2009 : Repérer une erreur dans une séquence de touches sur une calculatrice

Un item, en lien avec le précédent, qui est à nouveau discriminant et qui met en échec spécifiquement les candidats du groupe 0 pour lesquels la capacité C1 de prise d’information semble prise en défaut.






Critère : le candidat doit fournir une explication convaincante. L’évocation de l’absence de parenthèses sans autre précision ou avec un positionnement erroné de ces parenthèses n’est pas accepté


















EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 1833253519Nb de 9591123214Nb de 071510Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 156%20%47%61%83%% de 940%73%43%37%17%% de 05%7%9%2%0%


Commentaire :
Le fond scientifique de cet item est en relation directe avec l’item précédent, l’erreur à repérer étant précisemment celle que la plupart des candidats qui se sont trompés dans la question 1 ont commise. La réussite moyenne se tasse cependant en raison de quelques difficultés observées dans la mobilisation de la capacité C4 de communication.

Analyse didactique :
Curieusement, le groupe 0 est le seul à obtenir sur cet item une réussite supérieure à celle obtenue sur l’item précédent. Des candidats de ce groupe ont donc reconnu l’erreur dans la séquence de touches proposée mais ils n’ont pas été capables d’exploiter cette reconnaissance d’erreur pour critiquer leur réponse fournie dans la question précédente. La capacité C1 de prise d’information mais aussi la capacité à exercer un retour critique sur sa production sont prises en défaut dans ce groupe d’élèves.

Item 3- DNB 2012 : Effectuer un calcul complexe utilisant des puissances de 10

Un calcul classique, même s’il n’était pas exempt de difficulté, que le groupe 3 est le seul à réussir correctement.



Critère : le candidat doit trouver la bonne réponse : 1,00001.

EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 1703163516Nb de 955821215Nb de 0259970Code 1 :démarche correcte ; code 9 :démarche incorrecte ; code 0 :non abordé% de 147%15%35%56%76%% de 937%40%46%33%24%% de 017%45%20%11%0%
















Commentaire :
L’item apparait classique même s’il recèle certaines difficultés connues, notamment celles liées à l’interprétation de la barre de fraction et aux priorités de calcul qu’elle induit, priorités que le recours à la calculatrice type collège ne solutionne pas.
Les non réponses peu nombreuses attestent que ce calcul n’effraie pas les candidats a priori. En revanche, c’est plus d’un tiers des candidats qui commettent une erreur et l’erreur est nettement plus fréquente que la réussite dans les groupes 0 et 1.

Analyse didactique :
Ces erreurs nombreuses sont dispersées même si la source principale est clairement le non respect des priorités de calcul c'est-à-dire de la structure de l’expression. L’erreur la plus fréquente est la simplification abusive des deux puissances qui conduit 17 candidats de notre échantillon à produire 1 comme réponse. Vient ensuite le résultat 10, fourni par 5 candidats qui ont transformé 105 + 1 en 106.
On remarquera également des réponses assez nombreuses, 9 parmi l’échantillon, issues d’un calcul exact mais ne respectant pas l’écriture demandée. Ces réponses écrites sous la forme fractionnaire 100 001/100 000 ont été codées 9 bien que ne comportant pas d’erreur de calcul.
On relève parmi les autres résultats rencontrés, plus rarement, les valeurs 100 000 ; 1,02, 0,98 ; 5 000 ; 10 ; 11.






Item 9 – DNB 2013 : Résoudre un problème complexe de prix

Cette tâche complexe met en difficulté la plupart des candidats ; plus de la moitié des candidats traite la question et produit une erreur. Un quart des élèves du groupe 3 sont touchés.

 Critère : réponse attendue 59,8¬ ou 61¬ (avec un indice prouvant que le 61 ne vient pas d une lecture directe et erronée du tableau).
EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 149161923Nb de 9951740308Nb de 02861660Code 1 :démarche correcte ; code 9 :démarche incorrecte ; code 0 :non abordé% de 128%4%10%35%74%% de 955%71%65%55%26%% de 016%25%26%11%0%
Commentaire :
Seul le groupe 3 réussit correctement cet item. Les trois autres sont en échec massif. Globalement c’est à peine plus d’un candidat sur quatre qui réussit l’item.

Analyse didactique :
La tâche est complexe avec une prise d’information très importante. La dévolution d’une telle situation au sein d’une épreuve d’examen apparaît compliquée. On peut douter que les candidats soient prêts à consacrer le temps important que nécessite une telle prise d’information, le rapport bénéfice/temps investi paraissant peu propice à les motiver. Une telle tâche constituerait un support de formation intéressant mais en temps qu’exercice proposé au sein d’une épreuve d’examen elle apparaît comme peu adaptée, mettant les élèves en échec, ne permettant pas une appropriation véritable et n’offrant pas de possibilité d’autocontrôle.
Les difficultés se cumulent : 19% des candidats se trompent de forfait, 20% oublient le prix du carburant, 26% commettent une erreur dans le calcul du prix du carburant.
Item 14 – DNB 2013: Résoudre un problème mobilisant les pourcentages

L’item qui aborde la question classique mais difficile des pourcentages successifs amène un échec de plus des deux tiers des candidats. Cependant, plus des trois quarts des candidats du groupe 3 sont en réussite.

Critère : La démarche doit être correcte avec calculs cohérents
EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 154142524Nb de 9991850247Nb de 0195860Code 1 :démarche correcte ; code 9 :démarche incorrecte ; code 0 :non abordé% de 131%4%6%45%77%% de 958%75%81%44%23%% de 011%21%13%11%0%
Commentaire :
La question constituant cet item appartient au même exercice que l’item précédent. A nouveau l’échec est largement majoritaire. Moins d’un tiers des candidats réussit cet item. Cependant, contrairement à l’item précédent, le groupe 3 est cette fois en réussite.
Analyse didactique :
La question posée s’apparente à celle de l’item précédent : il s’agit encore de calculer avec des proportions successives conduisant à un produit, toujours sans disposer de grandeurs fixées (on ne connaissait pas les effectifs dans l’item 13, on ne connait pas les prix dans l’item 14). Comme dans l’item 13, la solution la plus simple consiste à fixer arbitrairement la valeur du prix initial. Cela suppose cependant une initiative s’appuyant sur la conscience du fait que le résultat est indépendant du prix initial choisi. Seulement 30 candidats sur 172, soit 17%, prennent cette initiative.
La réussite est moins mauvaise que sur l’item 13. Cela peut être dû à la présence des pourcentages qui se substituent aux fractions de l’item 13. On peut supposer que la familiarité des élèves est meilleure avec cette écriture des proportions sous forme de pourcentage. Cela peut également être dû à la situation, moins complexe sur cet item que sur le précédent. Les pourcentages choisis sont également simples.
Il reste que sur les 99 erreurs recensées, 50 sont dues à une réponse « oui » qui indique que les candidats considèrent que deux baisses successives de 20% puis de 30% équivalent à une baisse unique de 50%. C’est une représentation bien partagée dans la population générale en appui évidemment sur une familiarité avec la linéarité mal circonscrite.
Quant aux candidats qui réussissent l’item, 30 raisonnent à partir d’un prix qu’ils ont choisi, 12 fournissent une explication basée sur l’idée que la deuxième baisse s’applique sur un prix réduit par rapport au prix initial et 12 utilisent la méthode experte consistant à composer deux fonctions linéaires. 12 sur 172 cela représente 7% de l’échantillon. On mesure le chemin qui reste à parcourir pour que cette procédure devienne disponible chez tous les élèves du cycle terminal au lycée, en particulier dans les séries ES et STMG.

Item 16 – DNB 2012: Résoudre un problème utilisant un pourcentage
Un item mal réussi pour lequel la réussite, l’échec et la non réponse sont pratiquement également répartis. Seul le groupe 3 est en réussite.


Critère : le candidat doit présenter des calculs et une conclusion cohérente.


EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 154043218Nb de 948427152Nb de 0481615161Code 1 :démarche correcte ; code 9 :démarche incorrecte ; code 0 :non abordé% de 136%0%9%51%86%% de 932%20%59%24%10%% de 032%80%33%25%5%










Commentaire :
Seul le groupe 3 est en réussite sur cette résolution de problème. Une prise d’information complexe et une situation de la question en fin de première partie du problème constituent des facteurs explicatifs possibles du nombre élevé de non réponses.



Analyse didactique :
Le problème fait appel à deux capacités principales : la prise d’information et l’usage des pourcentages. Les capacités mathématiques mobilisées sont élémentaires mais la situation est assez complexe et donne lieu à une prise d’information consistante. La présence de proportions exprimées en pourcentages joue très certainement un rôle qui n’a pu être cerné ici. Le seul élément d’information provient de l’évaluation CEDRE d’où il ressort qu’environ 56% des élèves savent calculer un pourcentage en fin de collège.
Les candidats ont utilisé dans des proportions équivalentes deux procédures distinctes :
La première consiste à calculer le nombre de passagers que la compagnie s’est fixée comme objectif puis à le comparer à la moyenne 166 : 190 × 80% = 152. La moyenne est supérieure à l objectif qui est donc atteint. 28 candidats utilisent cette méthode.
La seconde consiste à calculer la proportion que représente la moyenne 166 par rapport à la capacité totale puis à la comparer à l objectif de 80% : 166/190 H" 87%. Cette proportion est supérieure à l’objectif qui est donc atteint. 26 candidats utilisent cette méthode





Item 5 – DNB 2010 : Reconnaître une situation de proportionnalité sur un graphique
(cet item figure parmi les 6 items nationaux)
Une question classique, située au cœur des programmes de quatrième et de troisième, mais qui met néanmoins largement en échec la majorité des candidats.


Critère : Le candidat doit répondre oui et fournir une justification correcte. Cette justification peut s’appuyer sur les données du texte (segment de droite) et sur la situation (volume de glace nul pour un volume d’eau nul) mais on acceptera aussi un appui exclusif sur le graphique (lu et implicitement interprété comme une droite passant par l’origine).

EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 139031719Nb de 9889333610Nb de 02141160Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 126%0%6%29%66%% de 959%69%70%61%34%% de 014%31%23%10%0%
Commentaire :
Les candidats reconnaissent bien une question classique traitée au cours de l’année dont la formulation ne les déstabilise pas. Le faible nombre de non réponses en atteste. Cependant la réussite est très faible. Seul le groupe 3 réussit, de justesse, à atteindre le seuil de deux élèves sur trois en réussite.


Analyse didactique :
Les types d’erreurs sont très nombreux et très divers. On peut les classer en trois catégories :
- Les réponses incomplètes dans lesquelles ne figure qu’un des deux critères attendus.
- Les réponses s’appuyant sur une conception fausse de la proportionnalité : « Il n’y a pas proportionnalité parce que le volume de glace n’est pas égal au volume d’eau » ou encore « Il y a proportionnalité parce que plus le volume d’eau augmente plus le volume de glace augmente ».
- Les réponses qui tentent de sortir du registre graphique. La tentative est vouée à l’échec puisque le graphique est la seule donnée du problème. Mais, manifestement, beaucoup de candidats ont voulu construire une argumentation reposant sur un registre numérique et calculatoire. Pour cela ils ont lu quelques valeurs et examiné la question de la proportionnalité sur ces valeurs lues. Ils ont donc rencontré deux types de limitation : d’une part ces valeurs ont en général conduit à répondre qu’il n’y avait pas proportionnalité en raison d’imprécisions inhérentes à la lecture, d’autre part leur réponse se fondait sur quelques cas particulier et non sur le cas général. On peut soupçonner sur ce type d’erreur un effet maître important : les élèves ont intégré de manière forte qu’en mathématiques une justification ne peut être fondée sur un dessin et ils manquent ici d’autonomie pour sortir de ce schéma général.

Tableau récapitulatif donnant les proportions de candidats concernés par chacun des cas :

RéussiteNon réponseRéponse incomplète (un seul des deux critères attendus)Erreur sur la notion de proportionnalitéPassage par des lectures de coordonnées puis calculs sur ces coordonnéesConfusion avec l’égalitéConfusion avec fonction croissante26%14%22%16%5%18%
Encore une fois on notera la diversité des situations et des profils d’élèves que le professeur rencontrera dans ses classes de troisième. Comme toujours en pareil cas, une gestion ouverte de la séance portant sur ces questions permettra de faire émerger les diverses approches et erreurs puis de les soumettre à un débat de classe permettant de faire réfléchir et raisonner les élèves. Le professeur devra absolument conclure un tel travail en faisant ressortir, et consigner dans les cahiers des élèves, les points à retenir.































Item 10 – DNB 2013 : Reconnaitre une situation de non proportionnalité sur un tableau
Bien que les deux grandeurs en jeu soient fournies dans un tableau, cet item en apparence élémentaire portant sur la proportionnalité est mal réussi. Moins de la moitié des élèves le traite correctement.

Critère : Réponse « non » avec justification correcte sans prise en compte de la qualité de la rédaction.
EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 1803173426Nb de 9501122125Nb de 042102390Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 147%13%24%62%84%% de 929%46%31%22%16%% de 024%42%32%16%0%Commentaire :
Un candidat sur quatre ne traite pas cette question et moins d’un sur deux réussit. L’item est discriminant mais on trouve encore 17% d’erreurs au sein du groupe 3. Le nombre élevé de non réponses est à rapprocher de la place de la question qui est la dernière de l’exercice. La question aurait sans doute été plus pertinente en début d’exercice et une nouvelle fois la prise d’information fait obstacle. Le contexte est complexe mais également peu familier aux élèves de cet âge, avec des ambiguités. Notamment, le tableau nécessite une interprétation et il doit également être amputé de sa dernière colonne pour étudier la proportionnalité qui est interrogée ici.
Analyse didactique :
Le code 9 correspond le plus souvent à la réponse « non » sans justification, parfois à la réponse « non parce que ce n’est pas égal ».
Les procédures utilisées par les candidats qui réussissent l’item sont au nombre de cinq :
Calcul et comparaison de quotients : 16% des candidats
Coefficient de proportionnalité ou retour à l’unité : 5%
« Règle du double » : 13%
Calcul et comparaison de produits en croix : 3%
Règle de 3 ou calcul d’une 4ème proportionnelle : 5%
On notera cette diversité des procédures et le fait que certaines sont anciennes, notamment la règle du double qui est une procédure de linéarité rencontrée dès l’école primaire et qui est ici encore fréquemment utilisée.
Item 13 – DNB 2010 : Résoudre un problème simple de proportionnalité
Un item peu discriminant, traité par tous les candidats, globalement bien réussi mais présentant un fort taux résiduel d’erreur y compris parmi les candidats en grande réussite.

Critère : 13,5 , 13 ou 14 sont acceptés (sans obligation d’unité).

EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 1640102727Nb de 934213172Nb de 0501124150Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 143%0%21%46%93%% de 923%15%28%29%7%% de 034%85%51%25%0%


Commentaire :
La réussite sur cet item simple et contextualisé, bien dans l’esprit du socle est faible, seul le groupe 3 étant en réussite. La capacité C1 de résolution de problème, s’informer, apparait ici mise en défaut pour beaucoup de candidats sur une question qui touche à un thème essentiel des mathématiques du socle : la proportionnalité. La position de l’item situé en fin d’épreuve au sein du problème amène à relativiser ce constat.

Analyse didactique :
Les erreurs font apparaitre des confusions entre la contenance du pot (5 litres) et la surface peinte avec un litre de peinture (4 m²), des confusions entre volume en litre et nombre de pots... La prise d’information est donc ici perturbée par des éléments distracteurs dus à la relative complexité du contexte.




Item 3 – DNB 2009 : lire les coordonnées d’un point
(cet item figure parmi les 6 items nationaux)
Un item globalement mal réussi qui vient tempérer la réussite observée l’an dernier sur les compétences de lecture graphique.



1) Lire graphiquement les coordonnées du point B.

Critère : le candidat doit montrer qu’il a su lire les deux coordonnées du point sans les confondre.



EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 1721173321Nb de 957727212Nb de 0207940Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 148%7%32%57%91%% de 938%47%51%36%9%% de 013%47%17%7%0%
Commentaire :
La lecture des coordonnées d’un point avait produit l’an dernier une réussite nationale de 82% contre 57% cette année, la réussite se limitant à 48% sur l’échantillon étudié. Cette année, l’item se révèle beaucoup plus sélectif et seul le groupe 3 atteint ce niveau de réussite. La différence tient sans aucun doute aux difficultés induites par le choix des unités. Le quadrillage intermédiaire présenté cette année partage l’unité en cinq introduisant un pas de 0,2 qui a posé problème. Ces difficultés montrent que la lecture graphique, point fort de nos élèves observé l’an dernier mais également dans les évaluations PISA, est cependant limitée par une maîtrise peu assurée du système de numération décimale.

Analyse didactique :
On relève quelques erreurs de signe sur l’abscisse et quelques confusions entre abscisse et ordonnée mais les deux erreurs significatives portent sur :
- le non respect de l’échelle qui renvoie à un déficit de compréhension de la numération décimale
- les notations qui suggèrent que certains concepts restent très confus dans l’esprit des candidats concernés. On trouve notamment des réponses du type :
fonction x ( - 4 x + 4,6 et quotient – 4 / 4,6.



Item 6 –DNB 2013 : Raisonner avec l’étendue

Une réussite globalement faible de 45% qui montre que cet indicateur de dispersion n’est pas bien maîtrisé par les candidats. A nouveau cet item sépare d’une part les groupes 0 et 1 qui échouent fortement et les groupes 2 et 3 qui réussissent bien.


Critère : réponse attendue 3 400 (sans exigence de calcul ni d’unité), raisonnement correct avec erreur de calcul acceptée.


EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 1771153427Nb de 9711933163Nb de 02441451Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 145%4%24%62%87%% de 941%79%53%29%10%% de 014%17%23%9%3%
Commentaire :
Avec seulement 45% de réussite cet item s’avère très discriminant. Les élèves du groupe 0 l’abordent massivement mais pour échouer également massivement. Plus d’un élève sur deux du groupe 1 échoue également. La faible proportion de non réponses montre que la situation et la question posée ne déstabilisent pas les candidats mais la réponse passe nécessairement par l’usage de l’étendue dont l’appropriation n’est pas réalisée chez la majorité d’entre eux.


Analyse didactique :
L’erreur la plus fréquemment observée est 2400, c'est-à-dire la valeur de l étendue elle-même donnée en place de la somme 1000 + 2400 correspondant à l addition de cette étendue avec la valeur minimale 1000¬ du salaire des hommes. Est-ce une confusion entre étendue et valeur maximale, est-ce le repérage du nombre maximal figural dans le texte, est-ce un oubli dans le raisonnement de la valeur minimale ? Toujours est-il que cette erreur touche 50 candidats sur 172, soit 29% de l’échantillon. Plus marginalement, 9 candidats fournissent comme réponse 2100, soit le salaire le plus élevé chez les femmes.
Item 2 – DNB 2011 : Evaluer une probabilité

Un item, en lien avec le précédent, qui reste discriminant et qui met cette fois en difficulté un peu plus d’un élève sur deux.


 

Critère : La probabilité donnée doit être exacte (1/6 ou une chance sur six)


EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 1732213020Nb de 960823236Nb de 0175750Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 149%13%41%52%77%% de 940%53%45%40%23%% de 011%33%14%9%0%
Commentaire :
Le passage des fréquences, demandées en question 1, aux probabilités, demandées en question 2, s’accompagne d’une baisse de la réussite qui passe de 65% à 49%.
Le terme « équilibré » est parfois mal compris. Pour certains candidats l’interprétation est que la probabilité est égale à 50% tandis que d’autres écrivent que « le dé n’est pas équilibré car toutes les faces ne sont pas de la même couleur ».
Les deux erreurs les plus fréquentes sont la confusion fréquence/probabilité et la modélisation inadéquate de la situation par la probabilité équirépartie sur les 5 couleurs ce qui conduit à une probabilité de 1/5 au lieu de 1/6.

Reprise de la réponse du 1) autre que 20% (confusion fréquence-probabilité)Reprise de la réponse du 1) égale à 20% (confusion fréquence-probabilité)Proba > 150% ou 3/6 ou 1/2251046
Analyse didactique :
Le programme propose une approche fréquentiste de la probabilité pour laquelle la situation rencontrée ici est parfaite. En revanche, s’il s’agit bien de construire une expérience des élèves sur ces questions en fréquentant, en formation, de telles situations ; en évaluation les élèves apparaissent encore très fragiles sur ces sujets nouveaux pour eux.
Les deux concepts, de fréquence et de probabilité, manquent certainement de consistance mathématique à ce stade. Mais ils sont certainement aussi fragilisés par une conception du nombre qui est encore très restrictive chez beaucoup de candidats. Les rationnels ne sont pas toujours conçus comme des nombres ce qui s’avère pénalisant pour traiter les questions de fréquence et de probabilité qui s’expriment en termes de rapports.
Sur ces questions de rapports vient également se greffer la difficulté supplémentaire des rapports particuliers que sont les pourcentages. Une autre confusion existe à ce niveau où un pourcentage est rarement compris comme un format d’écriture mais plutôt comme une sorte d’unité, donnant lieu à changement d’unité c'est-à-dire multiplication par 100 pour passer du nombre au pourcentage. On notera que ce type de difficulté, pour les élèves concernés, perdure longtemps au lycée.


Item 8 – DNB 2010 : Calculer une aire (par additivité)
(cet item figure parmi les 6 items nationaux)
En dépit de sa difficulté modeste et du fait qu’il se situe parfaitement dans l’esprit du socle, cet item conduit à un échec massif qui confirme une des principales conclusions de l’an dernier sur la mauvaise maîtrise qu’ont les candidats au DNB du champ « Grandeurs et mesure » des programmes.


Critère : Le candidat doit montrer qu’il a une représentation correcte de l’aire et de sa propriété d’additivité. Pour cela on acceptera le résultat 63 ou une démarche correcte mais éventuellement entachée d’une étourderie de calcul. L’oubli de l’unité, l’absence ou la mauvaise qualité de l’explication ne sont pas prises en compte.


EnsembleGroupe 0Groupe 1Groupe 2Groupe 3Nb de 130001020Nb de 950314258Nb de 0681033241Code 1 : démarche correcte ; code 9 : démarche incorrecte ; code 0 : non abordé% de 120%0%0%17%69%% de 934%23%30%42%28%% de 046%77%70%41%3%

Commentaire :
Aucun candidat des groupes 0 et 1 ne réussit cet item, le groupe 2 est également en très grande difficulté. Seuls les candidats du groupe 3 réussissent assez bien cet item, rappelons que le groupe 3 représente un peu moins de 20% des candidats.
Venant après les difficultés observées l’an dernier dans le calcul du périmètre d’un triangle connaissant les longueurs des trois côtés et dans l’aire d’un rectangle, ce résultat vient confirmer la conclusion générale apportée l’an dernier : le champs du programme « Mesures et grandeurs » apparait comme particulièrement mal maîtrisé par les candidats.
Le taux de non réponses à 46% est le plus important parmi les treize items étudiés. Il confirme que les candidats sont déstabilisés par cette question et ne disposent pas de piste de réponse.


Analyse didactique :
C’est bien le concept d’aire et sa propriété d’additivité qui sont testés ici. Si l’idée de soustraire à l’aire du carré de côté 9 cm l’aire des quatre triangles rectangles isocèles (qu’on peut réunir en deux carrés de côté 3 cm) est présente chez un candidat il termine en général le traitement de la question sans erreur. Le problème est bien que cette idée pourtant fondamentale, y compris au sens du socle commun, est rarement disponible chez les candidats. Seuls 35 sur 148 (soit 24%) mobilisent cette propriété d’additivité, 30 (soit 20%) parvenant ensuite au résultat attendu. Les autres se trouvent démunis et réagissent de deux manières : soit en ne répondant pas, ce qui est le cas de 68 candidats (soit 46%), soit en imaginant une formule plus ou moins en rapport avec l’image qu’ils se font de la situation, c’est le cas de 36 candidats (soit 24%).
Parmi les erreurs prévisibles on retrouve la confusion aire-périmètre avec six occurrences donc relativemen