Equations, inéquations - maths et tiques

EQUATIONS, INEQUATIONS I. Résolution d'équations Activité conseillée Activité conseillée
|p126 activité1 : Notion | |p60 activité1 : Notion |
|d'équation et d'inéquation | |d'équation et d'inéquation |
ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition
2014 Exercices conseillés En devoir Exercices
conseillés En devoir
|-p140 n°2 à 4|p140 n°1, 5 | |-p76 n°20 à 22|p76 n°19, 23 |
| |p144 n°66* | | |p83 n°111* |
|-Ex 1 (page |p145 n°74* | |-Ex 1 (page |p84 n°117* |
|11) | | |11) | |
|p140 n°6* et | | |p76 n°24* | |
|8* | | |p81 n°78, 79* | |
|-PB: p144 | | |-PB: p83 | |
|n°60, 63, 64,| | |n°107, 108, | |
|65 | | |110 | |
|p145 n°69 | | |p84 n°113 | |
|p146 n°76* | | |p85 n°121 | |
ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition
2014 1. Equation-produit
Définition : Toute équation du type P(x) x Q(x) = 0, où P(x) et Q(x)
sont des expressions algébriques, est appelée équation-produit.
Remarque :
Nous rencontrerons plus particulièrement des équations produits de la
forme :
(ax + b)(cx + d) = 0.
Propriétés :
- Dire qu'un produit de facteurs est nul, équivaut à dire que l'un au
moins des facteurs est nul.
- Le cas particulier de l'équation-produit (ax + b)(cx + d) = 0
équivaut à
ax + b = 0 ou cx + d = 0.
Méthode : Résoudre une équation en se ramenant à une équation-produit
[pic] Vidéo https://youtu.be/EFgwA5f6-40
[pic] Vidéo https://youtu.be/sMvrUMUES3s
Résoudre dans ? les équations :
1) (3x + 1)(1 - 6x) - (3x + 7)(3x + 1) = 0 2)
[pic]
1) On commence par factoriser l'expression pour se ramener à une
équation-produit :
(3x + 1)(1 - 6x) - (3x + 7)(3x + 1) = 0
(3x + 1)[(1 - 6x) - (3x + 7)] = 0
(3x + 1)(1 - 6x - 3x - 7) = 0
(3x + 1)(- 9x - 6) = 0
Soit : 3x + 1 = 0 ou - 9x - 6 = 0
3x = -1 ou - 9x = 6
x = [pic] ou x = [pic]
Les solutions sont donc [pic] et [pic].
2) [pic]
[pic]
Soit : x = 0 ou 5x - 4 = 0
5x = 4
x = [pic]
Les solutions sont donc 0 et [pic].
Exercices conseillés En devoir Exercices
conseillés En devoir
|-Ex 2 (page |p140 n°10 | |-Ex 2 (page |p76 n°26 |
|11) | | |11) | |
|p140 n°9, 11 | | |p76 n°25, 28 | |
|et 12* | | |p81 n°85, 87 | |
|p141 n°20 | | |p82 n°99, 100 | |
|p141 n°23 | | |-PB: p83 n°112| |
|-PB: p145 | | | | |
|n°68 | | |p85 n°122* | |
|p138 n°3* | | | | |
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2014
TP conseillé TP conseillé
|TP TICE 1 p133 : Recherche | |p71 TP3 : Recherche |
|triangles rectangles ! | |triangles rectangles ! |
|TP TICE 3 p134 : Résoudre une| |p72 TP6 : Résoudre une |
|équation avec un logiciel | |équation avec un logiciel |
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2014 2. Equation de la forme x² = a
Propriété :
Les solutions dans ? de l'équation x2 = a dépendent du signe de a.
Si a < 0, alors l'équation n'a pas de solution.
Si a = 0, alors l'équation possède une unique solution qui est 0.
Si a > 0, alors l'équation possède deux solutions qui sont [pic] et
-[pic]. Démonstration : - Si a < 0, l'équation n'a pas de solution car un carré est positif.
- Si a = 0, alors l'équation s'écrit [pic] donc [pic].
- Si a > 0 : [pic]équivaut à : [pic]
Soit [pic]
[pic]
Exemples :
Résoudre dans ? les équations : [pic], [pic] et [pic]
- L'équation [pic].
16 est positif donc l'équation admet deux solutions [pic] et
[pic].
- L'équation [pic].
-8 est négatif donc l'équation n'a pas de solution dans ?.
- L'équation [pic].
On a alors [pic] ou [pic].
L'équation admet deux solutions [pic] et [pic]. Exercices conseillés En devoir Exercices
conseillés En devoir
|Ex 3 et 4 |p140 n°15 | |Ex 3 et 4 |p76 n°32 |
|(page11) | | |(page11) | |
|p140 n°13 | | |p76 n°29, 31, | |
|p141 n°21*, | | |30 | |
|22* | | | | |
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2014 3. Equation-quotient Définition : Toute équation du type [pic] = 0, où P(x) et Q(x) sont
des expressions algébriques (avec Q(x) ? 0), est appelée équation-
quotient.
Propriété : Pour tout x qui n'annule pas l'expression Q(x), l'équation-
quotient [pic] = 0 équivaut à P(x) = 0.
Exemple :
L'équation [pic] = 0 a pour solution x = -2. Méthode : Résoudre une équation en se ramenant à une équation-quotient
[pic] Vidéo https://youtu.be/zhY1HD4oLHg
[pic] Vidéo https://youtu.be/OtGN4HHwEek
Résoudre dans ? les équations :
a) [pic] b) [pic] c) [pic]
d) [pic]
a) L'équation n'est pas définie pour x = 1.
Pour x ? 1, l'équation [pic] équivaut à : [pic].
D'où [pic].
b) L'équation n'est pas définie pour x = 4.
Pour x ? 4, l'équation [pic] équivaut à : [pic].
Soit : [pic] ou [pic]
Les solutions sont : [pic] et [pic].
c) L'équation n'est pas définie pour x = -3.
Pour x ? -3, l'équation [pic] équivaut à : [pic], soit [pic]
Soit encore : [pic] ou [pic].
Comme x ? -3, l'équation a pour unique solution :[pic].
d) L'équation n'est pas définie pour x = 2 et x = 3.
Pour x ? 2 et x ? 3 , l'équation [pic] équivaut à :
[pic]
On réduit au même dénominateur dans le but de se ramener à une
équation-quotient :
[pic]
[pic]
On développe et on réduit le numérateur :
[pic]
[pic]
Ce qui équivaut à 4x - 6 = 0 et [pic]
D'où [pic]. Exercices conseillés Exercices
conseillés En devoir
|Ex 5 et 6 | | |Ex 5 et 6 |p81 n°81 |
|(page11) | | |(page11) | |
|p140 n°16, 17| | |p76 n°33, 34 | |
|Ex 7 et 8 | | |Ex 7 et 8 | |
|(page11) | | |(page11) | |
|p140 n°18 | | |p81 n°82, 83, | |
|p141 n°19* | | |88 | |
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2014 II. Tableaux de signes 1) Exemple d'introduction
a) Compléter le tableau de valeurs suivant de l'expression 2x - 10 :
|x |-10 |
|2x - 10 | ... 0 |
| |... | c) Pour quelle valeur x de l'expression 2x - 10 s'annule-t-elle ?
Compléter alors la 1ère ligne du tableau de signes. d) Vérifier à l'aide d'une calculatrice graphique.
a)
|x |-10 |
|2x - 10 | - 0 |
| |+ | c) 2x - 10 = 0 soit 2x = 10 soit encore x = 5.
|x |[pic] 5 |
| |[pic] |
|2x - 10 | - 0 |
| |+ | d) On trace la représentation graphique de [pic].
[pic] 2) Généralisation On considère a et b deux nombres fixés (a ? 0) et x est un nombre
réel.
Soit la fonction affine f définie sur ? par f (x) = ax + b.
Déterminons l'abscisse x du point d'intersection de la droite
représentative de f dans un repère avec l'axe des abscisses :
Cela revient à résoudre l'équation f(x) = 0.
soit : ax + b = 0,
soit : ax = - b,
soit encore [pic].
Si a > 0 :
La fonction f est croissante sur ?.
On obtient le tableau de signes suivant pour ax+b :
|x |-[pic] [pic] |
| |+[pic] |
|ax+b | - 0 |
| |+ |
Si a < 0 :
La fonction f est décroissante sur ?.
On obtient le tableau de signes suivant pour ax+b :
|x |-[pic] [pic] |
| |+[pic] |
|ax+b | + 0 |
| |- |
Méthode : Déterminer le signe d'une expression du type ax + b
[pic] Vidéo https://youtu.be/50CByVTP4ig
1) Déterminer le tableau de signes de l'expression 2x + 6, où x est
un nombre réel.
Le coefficient devant « x » est positif, donc on a le